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Matematikal ESO · Bachillerato IR A LA HERRAMIENTA →

CÁLCULO DE MATRICES QUE CUMPLEN CIERTAS CONDICIONES

Álgebra lineal · Bachillerato

Resuelve ejercicios en los que la incógnita matricial no se puede despejar directamente. Por ejemplo:

  1. Matrices que conmutan con una matriz dada
  2. Resolución de ecuaciones matriciales del tipo \(AX+XB=C\)
  3. Matrices con parámetros sometidos a una condición.
Ecuaciones matriciales Sistemas matriciales Operaciones con matrices

Idea principal

1. Cuando no se puede despejar la matriz

En \(AX+XB=C\) o en \(AX=XA\), la matriz \(X\) está multiplicada por la izquierda en un término y por la derecha en otro, por lo que no se puede extraer \(X\) como factor común de forma directa.

El procedimiento para resolver el problema consiste en escribir la matriz incógnita con entradas desconocidas, o parámetros, y transformar la condición matricial en un sistema de ecuaciones lineales con esos parámetros.

Si \(X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) y \(AX=XA\), se realizan los cálculos para obtener los dos miembros \(AX\) y \(XA\) y se igualan las matrices obtenidas término a término, obteniéndose de esta forma un sistema de ecuaciones lineales.

Qué calcula

Una ecuación para la matriz X

\(X\) puede ser una matriz general.

La condición puede ser, por ejemplo:

  1. \(AX=XA\)
  2. \(AX+XB=C\)
  3. \(X^t=X\)

La herramienta indica si hay solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.

Método

Se nombra cada entrada desconocida de la matriz. Para orden \(2\), se usa por ejemplo \(X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) o la matriz que indique el enunciado del problema.

Paso 1 En la condición, por ejemplo \(AX=XA\) o \(AX+XB=C\), se sustituye la matriz \(X\) y las matrices conocidas y se realizan los cálculos para simplificar los dos miembros.
Paso 2 Se igualan las matrices obtenidas en los dos miembros término a término para obtener un sistema de ecuaciones lineales.
Paso 3 Se simplifica el sistema obtenido para dejar el menor número de parámetros posible.
Paso 4 Se escribe la solución final de la matriz \(X\) en función de los parámetros que queden (o de ninguno si no quedan).

Ejercicio 1

Matrices que conmutan con \(A\)

Calcula todas las matrices que conmutan con \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)

Se considera una matriz genérica cuadrada de orden 2: \(X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)

La matriz debe verificar la condición: \(AX=XA\)

Paso 1: Se realizan los cálculos de los dos miembros de la condición.

Primer miembro

\[AX=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix}\]

Segundo miembro

\[XA=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{pmatrix}\]

Paso 2: Se igualan los dos miembros y se construye el sistema de ecuaciones.

\[\begin{pmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{pmatrix}\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&a+c=a\\&b+d=a+b\\&c=c\\&d=c+d\end{aligned}\right.\]

Paso 3: Se simplifica el sistema todo lo posible.

\[\left\{\begin{aligned}&a+c=a\\&b+d=a+b\\&c=c\\&d=c+d\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&c=0\\&d=a\\&c=c\\&c=0\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&c=0\\&d=a\end{aligned}\right.\]

Paso 4: Se escribe la solución final con el menor número de parámetros posible.

\[X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}\]

Todas las matrices que sean de la forma \(\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix},\;a,b\in\mathbb{R}\) conmutan con \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)

Ejercicio 2

Ecuaciones en las que no se puede despejar la incógnita

Resolver la ecuación \(AX+XB=C\) con \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}3&0\\0&4\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}4&5\\6&7\end{pmatrix}\)

Se considera una matriz genérica cuadrada de orden 2: \(X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)

La matriz debe verificar la condición: \(AX+XB=C\)

Paso 1: Se realizan los cálculos de los dos miembros de la condición.

Primer miembro

\[AX+XB=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\2c&2d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3a&4b\\3c&4d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a&5b\\5c&6d\end{pmatrix}\]

Segundo miembro

\[C=\begin{pmatrix}4&5\\6&7\end{pmatrix}\]

Paso 2: Se igualan los dos miembros y se construye el sistema de ecuaciones.

\[\begin{pmatrix}4a&5b\\5c&6d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&5\\6&7\end{pmatrix}\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&4a=4\\&5b=5\\&5c=6\\&6d=7\end{aligned}\right.\]

Paso 3: Se simplifica el sistema todo lo posible.

\[\left\{\begin{aligned}&4a=4\\&5b=5\\&5c=6\\&6d=7\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=1\\&c=\dfrac{6}{5}\\&d=\dfrac{7}{6}\end{aligned}\right.\]

Paso 4: Se escribe la solución final.

\[X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\\dfrac{6}{5}&\dfrac{7}{6}\end{pmatrix}\]

La solución es:

\[X=\begin{pmatrix}1&1\\\dfrac{6}{5}&\dfrac{7}{6}\end{pmatrix}\]

Ejercicio 3

Matrices con una forma previamente determinada

Encuentra todas las matrices de la forma \(A=\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}\) que sean idempotentes, es decir, que verifiquen \(A^2=A\)

La matriz tiene la forma \(A=\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}\) y debe verificar la condición: \(A^2=A\)

Paso 1: Se calcula \(A^2\).

\[A^2=\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\a+ab&b^2\end{pmatrix}\]

Paso 2: Se igualan los dos miembros y se construye el sistema de ecuaciones.

\[\begin{pmatrix}1&0\\a+ab&b^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&a+ab=a\\&b^2=b\end{aligned}\right.\]

Paso 3: Se simplifica el sistema todo lo posible.

\[\left\{\begin{aligned}&a+ab=a\\&b^2=b\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&ab=0\\&b(b-1)=0\end{aligned}\right.\Rightarrow b=0\;\text{o}\;b=1\]

Se estudian los dos casos:

  • Si \(b=0\): la condición \(ab=0\) se cumple para cualquier valor de \(a\).
  • Si \(b=1\): la condición \(ab=0\) exige \(a=0\).

Paso 4: Se escriben las soluciones para cada caso.

Caso 1 \((b=0)\):

\[A=\begin{pmatrix}1&0\\a&0\end{pmatrix},\quad a\in\mathbb{R}\]

Caso 2 \((b=1,\;a=0)\):

\[A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I\]

Las matrices de la forma \(\begin{pmatrix}1&0\\a&b\end{pmatrix}\) que son idempotentes son:

\[\begin{pmatrix}1&0\\a&0\end{pmatrix}\;(a\in\mathbb{R})\qquad\text{y}\qquad\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I\]

Ejercicio 4

Matrices no cuadradas con una forma previamente determinada

Encuentra todas las matrices de la forma \(A=\begin{pmatrix}a&b&0\\1&0&c\end{pmatrix}\) que verifican \(A\cdot B=C\), con \(B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\1&0\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}2&5\\2&2\end{pmatrix}\)

La matriz incógnita es de orden \(2\times3\) y tiene la forma \(A=\begin{pmatrix}a&b&0\\1&0&c\end{pmatrix}\). La condición es: \(A\cdot B=C\)

Paso 1: Se calcula el producto \(A\cdot B\) sustituyendo la forma de \(A\).

\[A\cdot B=\begin{pmatrix}a&b&0\\1&0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&2a+b\\1+c&2\end{pmatrix}\]

Paso 2: Se iguala con \(C\) y se construye el sistema de ecuaciones.

\[\begin{pmatrix}a&2a+b\\1+c&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&5\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&a=2\\&2a+b=5\\&1+c=2\\&2=2\end{aligned}\right.\]

Paso 3: Se simplifica el sistema todo lo posible.

\[\left\{\begin{aligned}&a=2\\&2a+b=5\\&1+c=2\\&2=2\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&a=2\\&b=1\\&c=1\end{aligned}\right.\]

La cuarta ecuación es una identidad y no aporta información.

Paso 4: Se escribe la solución final.

\[A=\begin{pmatrix}a&b&0\\1&0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\]

La solución es:

\[A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\]

¿Quieres practicar? Escribe la ecuación que debe cumplir \(X\), decide si \(X\) es general o tiene una forma con parámetros, e introduce las matrices conocidas.

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