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Obtención de matrices que cumplen ciertas condiciones

Todo lo que necesitas para resolver condiciones matriciales del tipo AX = XA, AX+XB = C o A² = A:

  1. Cuándo no se puede despejar la matriz incógnita directamente.
  2. El método de los 4 pasos: parametrizar, calcular, igualar y resolver.
  3. Ejemplos resueltos: conmutatividad, ecuación de Sylvester, matrices antisimétricas.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Cuándo usar este método?

En ecuaciones como \(AX + XB = C\) o \(AX = XA\), la matriz \(X\) está multiplicada por la izquierda en un término y por la derecha en otro, lo que impide extraer \(X\) como factor común directamente. El método consiste en escribir \(X\) con entradas desconocidas (parámetros) y transformar la condición matricial en un sistema de ecuaciones lineales con esos parámetros.

Por ejemplo: si \(X = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) y la condición es \(AX = XA\), se calculan \(AX\) y \(XA\), se igualan término a término y se obtiene un sistema de ecuaciones lineales en \(a, b, c, d\).

Condición necesaria: la condición debe ser lineal en la incógnita. Es decir, la matriz incógnita no puede aparecer elevada a una potencia diferente de 1 en la condición. En casos como \(X^2 = A\) o \(X^3 = X\), la calculadora muestra el sistema de ecuaciones resultante pero no puede resolverlo automáticamente por ser no lineal.

2. El método paso a paso

  1. Escribir \(X\) con letras desconocidas (con parámetros).
    Si \(X\) es cuadrada de orden 2 entonces \(X = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\). Si \(X\) tiene una forma predeterminada, usar los parámetros indicados en el enunciado. Por ejemplo \(X = \begin{pmatrix}t & s \\ s & r\end{pmatrix}\).
  2. Sustituir X (y las matrices conocidas) en la condición y calcular ambos miembros explícitamente.
  3. Igualar los dos miembros término a término para obtener un sistema de ecuaciones lineales.
  4. Resolver el sistema y escribir la solución final en función del menor número posible de parámetros libres (o sin parámetros si la solución es única).

3. Tipos de condiciones habituales

AX = XA (conmutatividad) \(X\) conmuta con \(A\). Normalmente hay infinitas soluciones que dependen de uno o más parámetros.
AX + XB = C (ecuación de Sylvester) \(X\) aparece a ambos lados con factores distintos. No se puede despejar. Se resuelve parametrizando \(X\) e igualando término a término.
A² = A, A² = I, At = A, At = −A (condiciones sobre la propia A) Idempotencia, involución, simetría y antisimetría: condiciones sobre la propia \(A\) con parámetros que hay que determinar.
A·B = C con A de forma fija \(A\) tiene algunos elementos conocidos y otros como parámetros. Se sustituye y se resuelve el sistema resultante.

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de matrices con condiciones te permite introducir tu propia condición matricial y obtener la solución paso a paso.

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4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Matrices que conmutan con A (AX = XA)

Sea \(A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\). Encontrar todas las matrices \(X\) de orden 2 que cumplan \(AX = XA\).

Paso 1 — Parametrizar X

\[X = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\]

Paso 2 — Calcular AX y XA

\[AX = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+c & b+d \\ c & d\end{pmatrix}\]
\[XA = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a+b \\ c & c+d\end{pmatrix}\]

Paso 3 — Igualar término a término

\[\begin{cases} a+c = a \\ b+d = a+b \\ c = c \\ d = c+d \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} c = 0 \\ d = a \end{cases}\]

Paso 4 — Solución

Los parámetros \(a\) y \(b\) son libres; \(c = 0\) y \(d = a\):

\[X = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a\end{pmatrix}, \quad a, b \in \mathbb{R}\]
Infinitas soluciones (familia de matrices)

Ejemplo 2 — Ecuación de Sylvester (AX + XB = C)

Sean \(A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}\), \(C = \begin{pmatrix}4 & 5 \\ 6 & 7\end{pmatrix}\). Resolver \(AX + XB = C\).

Paso 1 — Parametrizar X

\[X = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\]

Paso 2 — Calcular AX + XB

\[AX = \begin{pmatrix}a & b \\ 2c & 2d\end{pmatrix}, \quad XB = \begin{pmatrix}3a & 4b \\ 3c & 4d\end{pmatrix}\]
\[AX + XB = \begin{pmatrix}4a & 5b \\ 5c & 6d\end{pmatrix}\]

Paso 3 — Igualar término a término

\[\begin{cases} 4a = 4 \\ 5b = 5 \\ 5c = 6 \\ 6d = 7 \end{cases}\]

Paso 4 — Solución

\[a = 1, \quad b = 1, \quad c = \frac{6}{5}, \quad d = \frac{7}{6}\]
\[X = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] \dfrac{6}{5} & \dfrac{7}{6}\end{pmatrix}\]
Solución única

Ejemplo 3 — Matrices antisimétricas (Xt = −X)

Encontrar todas las matrices cuadradas de orden 2 que sean antisimétricas, es decir, que verifiquen \(X^t = -X\).

Paso 1 — Parametrizar X

Se escribe \(X\) con entradas desconocidas: \(X = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\).

Paso 2 — Calcular ambos miembros

\[X^t = \begin{pmatrix}a & c \\ b & d\end{pmatrix} \qquad -X = \begin{pmatrix}-a & -b \\ -c & -d\end{pmatrix}\]

Paso 3 — Igualar Xt = −X término a término

\[\begin{cases} a = -a \;\Rightarrow\; a = 0 \\ c = -b \\ b = -c \quad\text{(misma ecuación)} \\ d = -d \;\Rightarrow\; d = 0 \end{cases}\]

Las ecuaciones 2 y 3 son equivalentes. El sistema se reduce a \(a=0\), \(d=0\) y \(c=-b\).

Paso 4 — Solución

\[X = \begin{pmatrix}0 & b \\ -b & 0\end{pmatrix}, \quad b \in \mathbb{R}\]
Infinitas soluciones con 1 parámetro libre. Toda matriz antisimétrica 2×2 tiene diagonal nula y entradas simétricas de signo contrario.

Ejemplo 4 — Matriz no cuadrada con forma dada (A·B = C)

Sean \(B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) y \(C = \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\). Encontrar \(A = \begin{pmatrix}a & b & 0 \\ 1 & 0 & c\end{pmatrix}\) tal que \(A \cdot B = C\).

Paso 1 — Parametrizar A

La forma ya está dada con parámetros \(a\), \(b\) y \(c\).

Paso 2 — Calcular A·B

\[A \cdot B = \begin{pmatrix}a & b & 0 \\ 1 & 0 & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 2a+b \\ 1+c & 2\end{pmatrix}\]

Paso 3 — Igualar A·B = C término a término

\[\begin{cases} a = 2 \\ 2a + b = 5 \\ 1 + c = 2 \\ 2 = 2 \quad \text{(identidad)} \end{cases}\]

Paso 4 — Solución

\[a = 2, \quad b = 5 - 2\cdot 2 = 1, \quad c = 1\]
\[A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Solución única

¿Quieres resolver tu propia condición matricial? La calculadora te permite introducir la condición, parametrizar \(X\) y obtener el sistema de ecuaciones resuelto automáticamente.

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5. Errores frecuentes

6. Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre este método y el de ecuaciones matriciales?

En ecuaciones matriciales del tipo \(AX = B\) o \(AXB = C\) se puede despejar \(X\) usando la inversa de \(A\) (y de \(B\)). Aquí no es posible despejar directamente porque \(X\) aparece a la izquierda y a la derecha con factores distintos, por lo que hay que parametrizar \(X\) y resolver un sistema.

¿Puede no tener solución?

Sí. Si el sistema de ecuaciones obtenido al igualar término a término es incompatible, no existe ninguna \(X\) que cumpla la condición dada.

¿Puede tener infinitas soluciones?

Sí, cuando el sistema es compatible indeterminado: quedan uno o más parámetros libres y la solución es una familia de matrices. Esto ocurre con frecuencia en problemas de conmutatividad.

¿La condición tiene que ser lineal?

El método funciona directamente solo para condiciones lineales en las entradas de \(X\). Si hay productos entre parámetros (como en \(A^2 = A\)), el sistema resultante no es lineal y requiere un análisis por casos que la calculadora no puede realizar automáticamente.

¿Quieres practicar con tu propia condición? La calculadora de matrices con condiciones te guía paso a paso desde la parametrización hasta la solución final.

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