Qué son las operaciones con matrices
Las operaciones con matrices permiten trabajar de forma ordenada con tablas rectangulares de números o expresiones. En álgebra lineal son fundamentales para estudiar sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones lineales, determinantes, rangos y muchos otros contenidos habituales en Bachillerato y en cursos iniciales de universidad.
No todas las operaciones matriciales se realizan del mismo modo ni están siempre definidas. Algunas, como la suma y la resta, solo pueden hacerse entre matrices del mismo orden. Otras, como el producto de matrices, dependen del número de filas y columnas de las matrices implicadas. También existen operaciones propias de una sola matriz, como la traspuesta, la inversa o el cálculo de potencias.
Esta página reúne una herramienta para practicar las operaciones más habituales con matrices y, además, ofrece una introducción teórica para recordar qué significa cada operación, en qué casos puede aplicarse y qué precauciones conviene tener al usarla.
Operaciones entre matrices
Suma, resta y producto de matrices, siempre que se cumplan las condiciones necesarias de dimensiones.
Operaciones sobre una matriz
Producto por un número, traspuesta, inversa y potencias, con sus condiciones de existencia correspondientes.
Propiedades básicas de las operaciones con matrices
- La suma y la resta de matrices se realizan elemento a elemento y exigen que ambas matrices tengan el mismo número de filas y de columnas.
- El producto por un número se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por ese número.
- El producto de matrices solo está definido cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda.
- En general, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, normalmente \(AB\neq BA\).
- La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando filas por columnas.
- Una matriz solo tiene inversa si es cuadrada y regular, es decir, si su determinante es distinto de cero.
- Las potencias de una matriz solo tienen sentido cuando la matriz es cuadrada.
- En expresiones con varias matrices, el uso correcto de paréntesis y el orden de las operaciones puede cambiar completamente el resultado.
Ejemplos rápidos
Suma de matrices
Sean \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & -3\\ 2 & 1 & -3\end{bmatrix}\) y \(B=\begin{bmatrix}1 & -2 & -2\\ 3 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0\end{bmatrix}\). La suma se obtiene sumando elemento a elemento.
\[
A+B=\begin{bmatrix}2+1&1-2&-1-2\\1+3&0+1&-3-1\\2+0&1-1&-3+0\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}3&-1&-3\\4&1&-4\\2&0&-3\end{bmatrix}
\]
Producto de matrices
Si \(C=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) y \(D=\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix}\), entonces el producto \(CD\) se calcula combinando filas de la primera matriz con columnas de la segunda.
\[
CD=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1\cdot0+2\cdot(-1)&1\cdot1+2\cdot2\\3\cdot0+4\cdot(-1)&3\cdot1+4\cdot2\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}-2&5\\-4&11\end{bmatrix}
\]
Traspuesta de una matriz
Si \(E=\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&4\end{bmatrix}\), su traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas.
\[
E^t=\begin{bmatrix}1&-1\\0&3\\2&4\end{bmatrix}
\]
Cómo se usa
- Indica cuántas matrices vas a introducir y valida con ENTER o con TAB.
- Cambia, si lo deseas, el nombre de las matrices, que inicialmente aparecen como
A, B, ....
- Crea cada matriz introduciendo sus dimensiones y sus elementos. Si algún dato no es válido aparecerá un aviso y deberá volver a introducirse.
- En las opciones se elige la operación que se desea realizar y en la zona de trabajo del usuario se muestran los resultados.
- En algunas operaciones combinadas se puede optar entre mostrar directamente el resultado o ir viendo pasos intermedios.
Opciones disponibles
Opción 1
Sumar dos matrices.
Opción 2
Restar dos matrices.
Opción 3
Multiplicar dos matrices.
Opción 4
Multiplicar un número por una matriz.
Opción 5
Obtener la traspuesta de una matriz.
Opción 6
Obtener la inversa de una matriz.
Opción 7
Obtener una potencia de una matriz.
Opción 8
Operaciones combinadas: mostrar paso a paso.
Opción 9
Operaciones combinadas: mostrar pasos de forma automática.
Opción 10
Operaciones combinadas: mediante pasos realizados por el usuario.
Formatos admitidos
En los elementos de las matrices se admiten:
- Números enteros y decimales.
- Fracciones del tipo
a/b, por ejemplo 2/3.
- Expresiones algebraicas con las matrices introducidas y con la matriz identidad
I.
Conviene mantener una notación consistente al introducir los datos para evitar errores en la interpretación de la expresión.
Estructura de la página de trabajo
Introducción de datos
En esta zona se crean las matrices que se van a utilizar y se fijan sus dimensiones y elementos.
Zona de operaciones y resultados
- Las operaciones propuestas por la herramienta.
- Las operaciones realizadas por el usuario y sus resultados.
- En algunos casos, los pasos intermedios necesarios para llegar al resultado final.
Errores típicos
- Intentar sumar o restar matrices con dimensiones distintas.
- Intentar multiplicar matrices cuando las dimensiones no son compatibles: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
- Olvidar que el producto de matrices no es conmutativo: puede estar definido
AB y no estar definido BA, o bien ambos productos pueden existir y ser distintos.
- Confundir la matriz traspuesta con la matriz inversa.
- Pensar que toda matriz cuadrada tiene inversa: para que exista, la matriz debe ser regular.
- Olvidar que las potencias de matrices solo tienen sentido para matrices cuadradas.
- Tener especial cuidado con los paréntesis en expresiones algebraicas matriciales: su posición puede cambiar el resultado final.
- Para introducir una matriz traspuesta se utiliza la notación
A^t y para la inversa A^(-1).
- Olvidar validar los datos con ENTER o con TAB.
Practicar operaciones con matrices
Esta página sirve como introducción teórica y como guía de uso de la herramienta. Si quieres trabajar directamente con matrices, introducir tus propios datos y realizar operaciones paso a paso o de forma automática, puedes pasar a la página de trabajo desde el siguiente enlace.