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Matematikal ESO · Bachillerato IR A LA HERRAMIENTA →

MATRIZ INVERSA
Método de Gauss-Jordan

Álgebra lineal · Bachillerato
Inversa por adjunta Determinantes Matriz escalonada

Definición

1. ¿Qué es la matriz inversa?

Dada una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\), se llama matriz inversa de \(A\) a la matriz \(A^{-1}\) que cumple:

\[A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n\]

donde \(I_n\) es la matriz identidad de orden \(n\). La inversa, cuando existe, es única.

Condición de existencia

¿Cuándo existe?

La matriz \(A\) tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero:

\[\det(A) \neq 0 \implies \exists\, A^{-1}\]
  • Si \(\det(A) = 0\), la matriz se llama singular y no tiene inversa.
  • Si \(\det(A) \neq 0\), la matriz se llama regular o invertible.

Método

2. El método de Gauss-Jordan para la inversa

La matriz ampliada \([A \mid I]\) es una matriz de orden \(n \times 2n\) que se construye colocando la matriz identidad \(I_n\) a la derecha de \(A\), separadas por una línea vertical. Por ejemplo, para una matriz \(3\times 3\):

\[\left[A \mid I\right] = \left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1 \end{array}\right)\]

La idea del método es sencilla: si se aplican las mismas operaciones elementales por filas sobre la identidad que las que transforman \(A\) en \(I\), el resultado es \(A^{-1}\). Para hacerlo de forma organizada, se trabaja con la matriz ampliada:

\[\left[A \mid I\right] \xrightarrow{\text{operaciones elementales}} \left[I \mid A^{-1}\right]\]

El proceso tiene tres fases:

  1. Triangularización hacia abajo (eliminación directa): se convierte la parte izquierda en una matriz triangular superior, anulando los elementos situados por debajo de la diagonal.
  2. Triangularización hacia arriba (sustitución regresiva): se anulan los elementos situados por encima de la diagonal.
  3. Normalización: se divide cada fila por su elemento pivote para que la diagonal sea de unos. En ese momento la parte izquierda es \(I\) y la derecha es \(A^{-1}\).

En la práctica las tres fases se pueden intercalar: normalizar el pivote antes de eliminar simplifica los cálculos al evitar fracciones acumuladas.

Herramientas del método

3. Las tres operaciones elementales por filas

Las únicas operaciones permitidas son las que no alteran el conjunto de soluciones asociado a la matriz:

Permutación de filas Intercambiar dos filas: \(F_i \leftrightarrow F_j\). Útil cuando el pivote en la posición \((i,i)\) es cero.
Multiplicación por escalar Dividir (o multiplicar) todos los elementos de una fila por un número no nulo: \(F_i \to \frac{1}{k}\,F_i\). Se usa para normalizar el pivote a 1.
Combinación lineal de filas Sustituir una fila por una combinación lineal de ella misma y otra: \(F_i \to m\,F_i + n\,F_j\). Es la operación principal para anular elementos.
Aplicadas siempre a toda la fila Cada operación se aplica simultáneamente a la parte izquierda \(A\) y a la parte derecha \(I\) de la matriz ampliada \([A\mid I]\).

Ejemplo resuelto

4. Ejemplo 2×2

Calcular la inversa de \(A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 5 & 3\end{pmatrix}\).

Paso 1. Construir la matriz ampliada:

\[\left(\begin{array}{cc|cc}2&1&1&0\\5&3&0&1\end{array}\right)\]

Paso 2. Normalizar \(F_1\) dividiendo por 2:

\[F_1\to\tfrac{1}{2}F_1\qquad\left(\begin{array}{cc|cc}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\5&3&0&1\end{array}\right)\]

Paso 3. Eliminar el 5 de la columna 1:

\[F_2\to F_2-5F_1\qquad\left(\begin{array}{cc|cc}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&-\frac{5}{2}&1\end{array}\right)\]

Paso 4. Normalizar \(F_2\):

\[F_2\to 2F_2\qquad\left(\begin{array}{cc|cc}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&1&-5&2\end{array}\right)\]

Paso 5. Eliminar \(\frac{1}{2}\) de la columna 2:

\[F_1\to F_1-\tfrac{1}{2}F_2\qquad\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&3&-1\\0&1&-5&2\end{array}\right)\]

La parte derecha es la inversa:

\[A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\]

Comprobación: \(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\checkmark\)

Ejemplo resuelto

5. Ejemplo 3×3

Calcular la inversa de \(A = \begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\-1&1&1\end{pmatrix}\).

Paso 1. Construir la matriz ampliada:

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\2&1&0&0&1&0\\-1&1&1&0&0&1\end{array}\right)\]

Paso 2. Eliminar columna 1 (el pivote ya es 1):

\[\underset{F_3\to F_3+F_1}{F_2\to F_2-2F_1}\quad\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&1&2&1&0&1\end{array}\right)\]

Paso 3. Eliminar columna 2:

\[F_3\to F_3-F_2\quad\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&0&4&3&-1&1\end{array}\right)\]

Paso 4. Normalizar \(F_3\) y eliminar columna 3:

\[F_3\to\tfrac{1}{4}F_3\quad\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&0&1&\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{array}\right)\]
\[\underset{F_2\to F_2+2F_3}{F_1\to F_1-F_3}\quad\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\0&1&0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{array}\right)\]

La inversa es:

\[A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\[4pt]-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[4pt]\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}\]

Errores frecuentes

6. Errores más comunes al calcular la inversa

  • No comprobar que el determinante es distinto de cero antes de empezar. Si \(\det(A)=0\), la inversa no existe y el método no converge.
  • Realizar transformaciones de columnas: el método de Gauss-Jordan solo permite operaciones elementales por filas. Aplicar operaciones sobre columnas altera la inversa y produce un resultado incorrecto.
  • Aplicar la operación solo a la parte izquierda (la matriz \(A\)) y olvidar aplicarla también a la parte derecha (la identidad). Toda operación elemental afecta a las \(2n\) columnas de la matriz ampliada.
  • Cometer errores al operar con fracciones en los pasos intermedios. Es recomendable trabajar con fracciones exactas en lugar de decimales para evitar acumulación de errores.
  • No comprobar el resultado. Siempre es conveniente verificar que \(A\cdot A^{-1}=I\) al final.

Preguntas frecuentes

FAQ

  • ¿Tiene sentido hablar de inversa de una matriz no cuadrada? No en el sentido habitual. La inversa solo se define para matrices cuadradas.
  • ¿Puede una matriz cuadrada no tener inversa? Sí: exactamente cuando su determinante es cero (matriz singular).
  • ¿El método de Gauss-Jordan da siempre fracciones exactas? Sí, mientras se trabaje con fracciones exactas en cada paso. La herramienta de esta página lo hace automáticamente.
  • ¿Hay otro método para calcular la inversa? Sí: el método de la matriz adjunta. Se basa en calcular los cofactores de \(A\) y dividir por el determinante. Está disponible en la página de Inversa por adjunta.
  • ¿La inversa sirve para resolver sistemas? Sí: si \(Ax=b\) y \(A\) es invertible, entonces \(x=A^{-1}b\). Sin embargo, para sistemas grandes el método de Gauss, el de Rouché-Frobenius o la regla de Cramer son más eficientes.

Ejercicios propuestos

Ej. 1InvertibleMatriz 2×2
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}3&1\\7&2\end{pmatrix}\).

Matriz ampliada y eliminación

\[\left(\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\7&2&0&1\end{array}\right)\underset{F_2\to 3F_2-7F_1}{\sim}\left(\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\0&-1&-7&3\end{array}\right)\] \[\underset{F_2\to -F_2}{\sim}\left(\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\0&1&7&-3\end{array}\right)\underset{F_1\to F_1-F_2}{\sim}\left(\begin{array}{cc|cc}3&0&-6&3\\0&1&7&-3\end{array}\right)\underset{F_1\to\frac{1}{3}F_1}{\sim}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&7&-3\end{array}\right)\] \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\7&-3\end{pmatrix}\)
Ej. 2InvertibleMatriz 3×3
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{pmatrix}\).

Eliminación directa

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&1&3&0&1&0\\2&0&1&0&0&1\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-2F_1}{\sim}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&1&3&0&1&0\\0&-4&1&-2&0&1\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3+4F_2}{\sim}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&1&3&0&1&0\\0&0&13&-2&4&1\end{array}\right)\]

Normalización y sustitución regresiva

\[F_3\to\tfrac{1}{13}F_3\Rightarrow F_2\to F_2-3F_3\Rightarrow F_1\to F_1-2F_2\] \(A^{-1}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix}1&-2&6\\6&1&-3\\-2&4&1\end{pmatrix}\)
Ej. 3SingularMatriz 3×3
Intenta calcular la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\) y determina qué ocurre.

El método revela que no tiene inversa

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\4&5&6&0&1&0\\7&8&9&0&0&1\end{array}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-4F_1\\F_3\to F_3-7F_1}}{\sim}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-3&-6&-4&1&0\\0&-6&-12&-7&0&1\end{array}\right)\underset{F_3\to F_3-2F_2}{\sim}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-3&-6&-4&1&0\\0&0&0&1&-2&1\end{array}\right)\] La fila 3 de la parte izquierda es de ceros, por lo que \(\text{rg}(A)=2<3\). El determinante es 0 y la matriz no tiene inversa. Matriz singular: no existe \(A^{-1}\)
Ej. 4InvertibleMatriz 4×4
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&2&2\\1&2&3&3\\1&2&3&4\end{pmatrix}\).

Paso 1 — Matriz ampliada

\[\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&1&1&0&0&0\\1&2&2&2&0&1&0&0\\1&2&3&3&0&0&1&0\\1&2&3&4&0&0&0&1\end{array}\right)\]

Paso 2 — Eliminación directa

\[F_2\to F_2-F_1,\quad F_3\to F_3-F_1,\quad F_4\to F_4-F_1\] \[\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&-1&1&0&0\\0&1&2&2&-1&0&1&0\\0&1&2&3&-1&0&0&1\end{array}\right)\] \[F_3\to F_3-F_2,\quad F_4\to F_4-F_2\] \[\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&-1&1&0&0\\0&0&1&1&0&-1&1&0\\0&0&1&2&0&-1&0&1\end{array}\right)\] \[F_4\to F_4-F_3\] \[\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&-1&1&0&0\\0&0&1&1&0&-1&1&0\\0&0&0&1&0&0&-1&1\end{array}\right)\]

Paso 3 — Sustitución regresiva

\[F_3\to F_3-F_4,\quad F_2\to F_2-F_4,\quad F_1\to F_1-F_4\] \[\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&0&1&0&1&-1\\0&1&1&0&-1&1&1&-1\\0&0&1&0&0&-1&2&-1\\0&0&0&1&0&0&-1&1\end{array}\right)\] \[F_2\to F_2-F_3,\quad F_1\to F_1-F_3\] \[\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&0&0&1&1&-1&0\\0&1&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&1&0&0&-1&2&-1\\0&0&0&1&0&0&-1&1\end{array}\right)\] \[F_1\to F_1-F_2\] \[\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&0&0&0&2&-1&0&0\\0&1&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&1&0&0&-1&2&-1\\0&0&0&1&0&0&-1&1\end{array}\right)\] \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&1\end{pmatrix}\)

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz 2×2, 3×3 o 4×4, seguir el método de Gauss-Jordan paso a paso y obtener la inversa.

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