Idea clave
¿Qué información da un determinante?
El valor del determinante permite decidir, por ejemplo, si una matriz cuadrada es invertible. Si el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible. Si el determinante es cero, la matriz no es invertible.
En esta página, el cálculo se realiza simplificando el determinante mediante operaciones adecuadas hasta reducirlo a determinantes de orden inferior, conservando siempre el control sobre cómo afectan dichas operaciones al valor final.
Notas
Antes de empezar
- Solo tiene sentido hablar de determinante en matrices cuadradas.
- Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
- Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).
Cómo se calcula
Esquema general
- Se realizan las operaciones de filas o columnas adecuadas hasta llegar a una línea formada por todos ceros excepto uno de sus elementos.
- Se reduce dicho determinante a otro de orden inferior utilizando la línea hallada en el apartado anterior.
- Se repiten los dos pasos anteriores hasta llegar a un determinante de orden 3.
- Se desarrolla el determinante de orden 3 hasta obtener el valor final.
Propiedades útiles
Conviene recordarlas
- Intercambiar dos filas o dos columnas cambia el signo del determinante.
- Sacar factor común de una fila o columna multiplica el determinante por ese factor.
- Sumar a una fila o columna un múltiplo de otra no cambia el valor del determinante.
Cómo se usa
Paso a paso
- Elige el tamaño del determinante.
- Introduce los elementos y valida cada celda con ENTER o TAB.
- Selecciona las operaciones necesarias para simplificar el cálculo.
- También puedes usar la solución automática para ver el desarrollo completo.
Errores típicos
Conviene vigilarlos
- Realizar operaciones por filas o columnas sin tener en cuenta cómo afectan al valor del determinante.
- Olvidar extraer factor común cuando una fila o columna tiene todos sus elementos divisibles por un mismo número.
- Reducir el determinante usando una fila o columna que no está formada por todos ceros excepto uno de sus elementos.
- Perder signos al desarrollar un determinante de orden 3.
Ejemplo rápido
Aplicación del método
\[
\left| \begin{matrix}
2 & -1 & 3 & 1 \\
2 & 4 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 4 & 3 \\
3 & -1 & -1 & 0
\end{matrix} \right|
\underset{{F}_{2}\to {F}_{2}-{F}_{1}}{\mathop{=}}\,
\left| \begin{matrix}
2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 5 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 4 & 3 \\
3 & -1 & -1 & 0
\end{matrix} \right|
\underset{\operatorname{Red}F_{2}}{\mathop{=}}\,
5\left| \begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 4 & 3 \\
3 & -1 & 0
\end{matrix} \right|
=5\left( -1+27-12-(-6) \right)=5\cdot 20=100
\]
El valor final del determinante es 100.
det(A)=100