Cálculo de determinantes

Álgebra lineal · Bachillerato

Operaciones con matrices Rango por Gauss Sistemas lineales por Gauss

Conceptos básicos

CONCEPTOS BÁSICOS

1. El determinante de una matriz cuadrada

El determinante de una matriz cuadrada \(A\) es un número real que queda unívocamente determinado por los elementos de dicha matriz. Se denota \(\det(A)\) o \(|A|\) y tiene múltiples aplicaciones en el álgebra lineal: decidir si una matriz es invertible, calcular su rango, resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer o calcular áreas y volúmenes en geometría analítica.

2. Determinante de orden 2

\[\det(A)=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc \qquad \text{Por ejemplo:} \qquad \begin{vmatrix}3 & -1 \\ 2 & 5\end{vmatrix}=3\cdot5-(-1)\cdot2=15+2=17\]

3. Determinante de orden 3. Regla de Sarrus

La regla de Sarrus permite calcular el determinante de una matriz \(3\times3\) de forma directa:

\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\]

\[\begin{aligned}&\text{Por ejemplo:}\quad\begin{vmatrix}3&1&-2\\2&-1&4\\1&3&0\end{vmatrix}=(3\cdot(-1)\cdot0+1\cdot4\cdot1+(-2)\cdot2\cdot3)-((-2)\cdot(-1)\cdot1+1\cdot2\cdot0+3\cdot4\cdot3)\\&=(0+4-12)-(2+0+36)=-8-38=\mathbf{-46}\end{aligned}\]

4. Menor complementario y adjunto de un elemento

Sea \(A\) una matriz cuadrada de orden \(n\) y sea \(a_{ij}\) uno de sus elementos:

Menor complementario \(M_{ij}\): determinante de la submatriz de orden \(n-1\) que se obtiene al suprimir la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz \(A\).

Ejemplo · Orden 3

El menor \(M_{23}\) de \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&0&4\\2&1&3\end{pmatrix}\) se obtiene suprimiendo la fila 2 y la columna 3:

\[M_{23}=\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=1-4=-3\]

Ejemplo · Orden 4

El menor \(M_{13}\) de \(A=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&3&1&2\\2&1&0&3\\1&2&1&0\end{pmatrix}\) suprime la fila 1 y la columna 3:

\[M_{13}=\begin{vmatrix}0&3&2\\2&1&3\\1&2&0\end{vmatrix}=15\]

Adjunto (cofactor) \(A_{ij}\): el menor complementario \(M_{ij}\) precedido del signo que le corresponde según la posición del elemento:

\[A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}\]

Ejemplo · Orden 3

Con la matriz anterior, \(M_{23}=-3\):

\[A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot(-3)=(-1)\cdot(-3)=3\]

Ejemplo · Orden 4

Con la matriz anterior, \(M_{13}=15\):

\[A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot 15=(+1)\cdot 15=15\]

5. Determinante de orden superior. Desarrollo por adjuntos (Teorema de Laplace)

Para calcular un determinante de orden \(n\geq4\) se utiliza el teorema de Laplace: el determinante puede desarrollarse por cualquier fila \(i\) o cualquier columna \(j\), sumando los productos de cada elemento por su adjunto:

\[\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot A_{ij}\qquad\text{(desarrollo por la fila }i\text{)}\]

\[\det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\cdot A_{ij}\qquad\text{(desarrollo por la columna }j\text{)}\]

Conviene elegir la fila o columna que contenga más ceros, ya que cada término con \(a_{ij}=0\) desaparece del desarrollo y simplifica el cálculo. Aplicando el teorema repetidamente el determinante se reduce hasta orden 3, donde se aplica la regla de Sarrus.

Ejemplo 1 · Desarrollo por la columna 3

La columna 3 tiene tres ceros: solo \(a_{33}=1\) es distinto de cero, por lo que el determinante se reduce directamente a uno de orden 3:

\[\begin{vmatrix}2&1&0&3\\1&4&0&2\\3&0&1&1\\0&2&0&4\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&1&3\\1&4&2\\0&2&4\end{vmatrix}=(32+0+6)-(0+4+8)=38-12=\mathbf{26}\]

Ejemplo 2 · Operaciones de fila + desarrollo

Se introducen ceros en la columna 1 restando múltiplos de \(F_1\) y después se desarrolla por dicha columna:

\[\begin{aligned}&\begin{vmatrix}1&0&2&-1\\2&1&3&0\\-1&2&0&3\\0&1&-2&1\end{vmatrix}\underset{F_2\to F_2-2F_1}{=}\begin{vmatrix}1&0&2&-1\\0&1&-1&2\\-1&2&0&3\\0&1&-2&1\end{vmatrix}\underset{F_3\to F_3+F_1}{=}\begin{vmatrix}1&0&2&-1\\0&1&-1&2\\0&2&2&2\\0&1&-2&1\end{vmatrix}\\&=1\cdot(+1)\begin{vmatrix}1&-1&2\\2&2&2\\1&-2&1\end{vmatrix}=(2-2-8)-(4-2-4)=-8+2=\mathbf{-6}\end{aligned}\]

6. Más ejemplos

Ejemplo 1 · Orden 2

\[\begin{vmatrix}3 & -2 \\ 1 & 4\end{vmatrix}=3\cdot4-(-2)\cdot1=12+2=\mathbf{14}\]

Ejemplo 2 · Orden 3 (Regla de Sarrus)

\[\begin{vmatrix}2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & 5\end{vmatrix}=(40+4+3)-(-24+4-5)=47+25=\mathbf{72}\]

Ejemplo 3 · Orden 4 (Desarrollo por la primera fila)

Se desarrolla por la primera fila. Como \(a_{12}=0\), ese término desaparece:

\[\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 0\end{vmatrix}=1\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+2\cdot A_{13}+1\cdot A_{14}=1\cdot A_{11}+2\cdot A_{13}+1\cdot A_{14}\]

Se calcula cada adjunto aplicando la regla de Sarrus a los menores de orden 3:

\[A_{11}=(+1)\begin{vmatrix}3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0\end{vmatrix}=(0+6+2)-(0+9+0)=-1\]

\[A_{13}=(+1)\begin{vmatrix}0 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 0\end{vmatrix}=(0+9+8)-(2+0+0)=+15\]

\[A_{14}=(-1)\begin{vmatrix}0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix}=(-1)\bigl[(0+0+4)-(1+0+6)\bigr]=(-1)(-3)=+3\]

\[\det(A)=1\cdot(-1)+2\cdot15+1\cdot3=-1+30+3=\mathbf{32}\]

7. Propiedades de los determinantes

1. Intercambio de dos filas o columnas

Si se intercambian dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.

\[\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}=8-3=5\qquad\xrightarrow{F_1\leftrightarrow F_2}\qquad\begin{vmatrix}1&4\\2&3\end{vmatrix}=3-8=-5\]

2. Factor común de una fila o columna

Si todos los elementos de una fila o columna tienen un factor común \(k\), puede extraerse fuera del determinante.

\[\begin{vmatrix}6&9\\2&5\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}2&3\\2&5\end{vmatrix}=3\cdot(10-6)=3\cdot4=12\]

3. Combinación lineal de filas (o columnas)

La operación: se puede sustituir una fila \(F_i\) por una combinación lineal \(a\cdot F_i+b\cdot F_j\), con \(a\neq0\).

Efecto sobre el determinante: al sustituir \(F_i\) por \(a\cdot F_i+b\cdot F_j\) se está multiplicando \(F_i\) por \(a\), lo que multiplica el determinante por \(a\). Para compensar, hay que dividir el resultado por \(a\), es decir, poner el factor \(\tfrac{1}{a}\) delante.

El caso más habitual en Bachillerato es \(a=1\), es decir, \(F_i\to F_i+\lambda F_j\). En ese caso el determinante no cambia y no aparece ningún factor.

Ejemplo 1 · Orden 3 (coeficiente 3)

\(F_2\to 3F_2-6F_1\) — el coeficiente de \(F_2\) es 3, por lo que aparece el factor \(\tfrac{1}{3}\):

\[\begin{vmatrix}3&1&2\\6&3&1\\0&2&4\end{vmatrix}\underset{F_2\to 3F_2-6F_1}{=}\tfrac{1}{3}\begin{vmatrix}3&1&2\\0&3&-9\\0&2&4\end{vmatrix}=\tfrac{1}{3}\cdot3\begin{vmatrix}3&-9\\2&4\end{vmatrix}=12+18=\mathbf{30}\]

Ejemplo 2 · Orden 4 (coeficiente 2)

\(F_2\to 2F_2-F_1\) — el coeficiente de \(F_2\) es 2, por lo que aparece el factor \(\tfrac{1}{2}\):

\[\begin{vmatrix}2&4&0&0\\1&3&2&1\\0&1&1&2\\0&2&1&3\end{vmatrix}\underset{F_2\to 2F_2-F_1}{=}\tfrac{1}{2}\begin{vmatrix}2&4&0&0\\0&2&4&2\\0&1&1&2\\0&2&1&3\end{vmatrix}=\tfrac{1}{2}\cdot2\begin{vmatrix}2&4&2\\1&1&2\\2&1&3\end{vmatrix}=2-4-2+\cdots=\mathbf{4}\]

Ejemplo 3 · Orden 4 (coeficiente 2)

\(F_2\to 2F_2-4F_1\) — el coeficiente de \(F_2\) es 2, por lo que aparece el factor \(\tfrac{1}{2}\):

\[\begin{aligned}&\begin{vmatrix}1&0&2&1\\2&3&1&0\\0&1&2&3\\1&2&0&1\end{vmatrix}\underset{F_2\to 2F_2-4F_1}{=}\tfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&2&1\\0&6&-6&-4\\0&1&2&3\\1&2&0&1\end{vmatrix}\underset{F_4\to F_4-F_1}{=}\tfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&2&1\\0&6&-6&-4\\0&1&2&3\\0&2&-2&0\end{vmatrix}\\&=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot\begin{vmatrix}6&-6&-4\\1&2&3\\2&-2&0\end{vmatrix}=\tfrac{1}{2}(0-36+8-(-16-36+0))=\tfrac{1}{2}\cdot24=\mathbf{12}\end{aligned}\]

4. Fila o columna de ceros

Si una fila o columna tiene todos sus elementos iguales a cero, el determinante vale cero.

\[\begin{vmatrix}3&-1&2\\0&0&0\\1&4&-3\end{vmatrix}=0\]

5. Filas o columnas proporcionales

Si dos filas (o dos columnas) son proporcionales, el determinante es cero.

\[\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&-1\end{vmatrix}=0\quad(\text{F}_2=2\cdot\text{F}_1)\]

6. Matriz triangular

El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de la diagonal principal.

\[\begin{vmatrix}3&5&-2\\0&-1&4\\0&0&2\end{vmatrix}=3\cdot(-1)\cdot2=\mathbf{-6}\]

7. Determinante de la traspuesta

El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: \(\det(A^t)=\det(A)\). Por ello, todas las propiedades válidas para filas lo son también para columnas.

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A)=-2\qquad A^t=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A^t)=-2\]

8. Determinante del producto

El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes: \(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)\).

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A)=-2,\;\det(B)=6\Rightarrow\det(AB)=-2\cdot6=\mathbf{-12}\]

Cómo se calcula

Esquema general

Orden 2: aplicar directamente la fórmula \(\det(A)=ad-bc\). No hace falta ninguna reducción.
Orden 3: aplicar la regla de Sarrus o desarrollar por adjuntos. La regla de Sarrus es exclusiva de orden 3 — no funciona para órdenes superiores.
Orden 4 o superior: realizar operaciones de filas o columnas hasta conseguir una fila o columna con todos los elementos iguales a cero excepto uno. Reducir el determinante a uno de orden inferior usando ese elemento como pivote de Laplace. Repetir hasta llegar a orden 3 y aplicar Sarrus.

Cómo se usa

Paso a paso

Elige el tamaño del determinante.
Introduce los elementos y valida cada celda con ENTER o TAB.
Selecciona las operaciones necesarias para simplificar el cálculo.
También puedes usar la solución automática para ver el desarrollo completo.

Errores típicos

Conviene vigilarlos

Realizar operaciones por filas o columnas sin tener en cuenta cómo afectan al valor del determinante.
Olvidar extraer factor común cuando una fila o columna tiene todos sus elementos divisibles por un mismo número.
Reducir el determinante usando una fila o columna que no está formada por todos ceros excepto uno de sus elementos.
Perder signos al desarrollar un determinante de orden 3.

Relación del determinante con otros conceptos

Invertibilidad: una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.
Rango: si \(\det(A) \neq 0\), el rango de \(A\) es igual a su orden. Si \(\det(A) = 0\), el rango es menor.
Regla de Cramer: cuando \(\det(A) \neq 0\), la solución única del sistema \(Ax = b\) viene dada por \(x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}\).
Sistemas homogéneos: el sistema \(Ax = 0\) tiene solución no trivial si y solo si \(\det(A) = 0\).

Preguntas frecuentes

¿El determinante de una matriz rectangular está definido? No. Solo existe el determinante de matrices cuadradas.
¿Qué ocurre si el determinante es cero? La matriz no tiene inversa, sus filas son linealmente dependientes y el sistema asociado no tiene solución única.
¿Se puede calcular el determinante operando solo con columnas? Sí. Las mismas propiedades que valen para filas son válidas para columnas.
¿Hay un único camino para calcular un determinante? No. Diferentes secuencias de operaciones llevan al mismo resultado. La herramienta muestra una posible solución.
¿Cuánto vale el determinante de la matriz identidad? Siempre vale 1, ya que es una matriz triangular con unos en la diagonal.

Ejercicios propuestos

Calcula el determinante de cada matriz. Usa la técnica más adecuada en cada caso.

Ej. 1Matriz 2×2Nivel básico

Calcula el determinante: \[\begin{vmatrix}1 & 3\\2 & 5\end{vmatrix}\]

Fórmula directa

\[\begin{vmatrix}1 & 3\\2 & 5\end{vmatrix}=1\cdot5-3\cdot2=5-6=-1\]

det = −1

Ej. 2Matriz 3×3Nivel medio · desarrollo por fila 1

Calcula el determinante desarrollando por la primera fila: \[\begin{vmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 0 & 2\\-1 & 1 & 3\end{vmatrix}\]

Desarrollo por la primera fila

\[=1\cdot\begin{vmatrix}0 & 2\\1 & 3\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}3 & 2\\-1 & 3\end{vmatrix}+(-1)\cdot\begin{vmatrix}3 & 0\\-1 & 1\end{vmatrix}\] \[=1\cdot(0-2)-2\cdot(9+2)+(-1)\cdot(3-0)=-2-22-3=-27\]

det = −27

Ej. 3Matriz triangular 3×3Nivel básico · producto de la diagonal

Calcula el determinante: \[\begin{vmatrix}2 & 3 & 1\\0 & -1 & 4\\0 & 0 & 3\end{vmatrix}\]

Propiedad de matrices triangulares

En una matriz triangular (superior o inferior), el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: \[\begin{vmatrix}2 & 3 & 1\\0 & -1 & 4\\0 & 0 & 3\end{vmatrix}=2\cdot(-1)\cdot3=-6\]

det = −6

Atajo: Esta propiedad se aplica también después de escalonar una matriz para calcular su determinante (con cuidado de los signos de los intercambios de filas).

Ej. 4Matriz 3×3 con factor comúnNivel medio · uso de propiedades

Calcula el determinante usando propiedades: \[\begin{vmatrix}4 & 6 & 2\\1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{vmatrix}\]

Extracción de factor común de la primera fila

\[=2\cdot\begin{vmatrix}2 & 3 & 1\\1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{vmatrix}\]

Desarrollo del determinante interior por fila 1

\[=2\cdot\left[2(4+1)-3(2+3)+1(1-6)\right]=2\cdot(10-15-5)=2\cdot(-10)=-20\]

det = −20

Recuerda: Se puede sacar factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por ese factor. Esto reduce los cálculos.

Ej. 5Matriz 4×4Nivel medio · operaciones de fila

Calcula el determinante usando operaciones elementales por filas: \[\begin{vmatrix}1&2&-1&0\\2&5&1&3\\-1&1&3&2\\0&2&1&4\end{vmatrix}\]

\[\begin{aligned}&\begin{vmatrix}1&2&-1&0\\2&5&1&3\\-1&1&3&2\\0&2&1&4\end{vmatrix}\underset{F_2\to F_2-2F_1}{=}\begin{vmatrix}1&2&-1&0\\0&1&3&3\\-1&1&3&2\\0&2&1&4\end{vmatrix}\underset{F_3\to F_3+F_1}{=}\begin{vmatrix}1&2&-1&0\\0&1&3&3\\0&3&2&2\\0&2&1&4\end{vmatrix}\\&=1\cdot(+1)\begin{vmatrix}1&3&3\\3&2&2\\2&1&4\end{vmatrix}=(8+12+9)-(12+36+2)=29-50=\mathbf{-21}\end{aligned}\]

det = −21

Ej. 6Matriz 4×4Nivel medio · columna con ceros

Calcula el determinante aprovechando los ceros de la tercera columna: \[\begin{vmatrix}1&3&0&2\\2&1&0&-1\\4&2&3&0\\1&0&0&2\end{vmatrix}\]

Desarrollo por la columna 3

La columna 3 tiene tres ceros; solo \(a_{33}=3\) es distinto de cero: \[=3\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&3&2\\2&1&-1\\1&0&2\end{vmatrix}=3\cdot(+1)\cdot[(2-0)-3(4+1)+2(0-1)]\] \[=3\cdot[2-15-2]=3\cdot(-15)=\mathbf{-45}\]

det = −45

Ej. 7Matriz 4×4Nivel medio · factor común + operaciones

Calcula el determinante: \[\begin{vmatrix}2&4&6&2\\1&3&1&2\\0&1&2&3\\2&1&0&1\end{vmatrix}\]

\[\begin{aligned}&\begin{vmatrix}2&4&6&2\\1&3&1&2\\0&1&2&3\\2&1&0&1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&2&3&1\\1&3&1&2\\0&1&2&3\\2&1&0&1\end{vmatrix}\underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_4\to F_4-2F_1}}{=}2\begin{vmatrix}1&2&3&1\\0&1&-2&1\\0&1&2&3\\0&-3&-6&-1\end{vmatrix}\\&=2\cdot1\cdot\begin{vmatrix}1&-2&1\\1&2&3\\-3&-6&-1\end{vmatrix}=2\cdot[(-2+18-6)-(-6+2-18)]=2\cdot[10+22]=2\cdot32=\mathbf{64}\end{aligned}\]

det = 64

Ej. 8Matriz 5×5Nivel avanzado · reducción a orden 4

Calcula el determinante: \[\begin{vmatrix}1&0&0&2&1\\2&3&0&1&0\\0&0&3&0&0\\0&1&0&2&3\\1&2&0&0&1\end{vmatrix}\]

\[\begin{aligned}&\begin{vmatrix}1&0&0&2&1\\2&3&0&1&0\\0&0&3&0&0\\0&1&0&2&3\\1&2&0&0&1\end{vmatrix}=3\cdot(+1)\begin{vmatrix}1&0&2&1\\2&3&1&0\\0&1&2&3\\1&2&0&1\end{vmatrix}\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_4\to F_4-F_1}}{=}3\begin{vmatrix}1&0&2&1\\0&3&-3&-2\\0&1&2&3\\0&2&-2&0\end{vmatrix}\\&=3\cdot1\cdot\begin{vmatrix}3&-3&-2\\1&2&3\\2&-2&0\end{vmatrix}=3\cdot[(0-18+4)-(-8+0-18)]=3\cdot[-14+26]=3\cdot12=\mathbf{36}\end{aligned}\]

det = 36

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz y calcular su determinante paso a paso o de forma automática.

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