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Matematikal ESO · Bachillerato IR A LA HERRAMIENTA →

SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES

Álgebra lineal · Bachillerato

Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales cuyas incógnitas son dos matrices (por ejemplo \(X\) e \(Y\)).

\[\begin{cases}a_1X+b_1Y=C_1\\a_2X+b_2Y=C_2\end{cases}\]
Ecuaciones matriciales Operaciones con matrices Matriz inversa

Definición

1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones matriciales?

Es un sistema en el que las incógnitas no son números, sino matrices. En esta página trabajamos con dos incógnitas, normalmente \(X\) e \(Y\), y con dos ecuaciones lineales respecto de ellas.

Solo se resolverá el problema cuando el sistema sea compatible determinado (es decir, tenga solución única).

La forma que usa la herramienta es:

\[ \begin{cases} a_1X+b_1Y=C_1\\ a_2X+b_2Y=C_2 \end{cases} \]

Los coeficientes \(a_1,b_1,a_2,b_2\) son escalares numéricos, mientras que \(C_1\) y \(C_2\) son matrices conocidas del mismo orden.

Solución única

¿Cuándo se puede resolver?

El sistema posee una solución única si el determinante de la matriz de los coeficientes no se anula:

\[ \Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\neq 0 \]

Si \(\Delta=0\), el sistema puede ser incompatible o tener infinitas soluciones, igual que ocurre con los sistemas numéricos.

Método

2. Cómo se resuelve

Una vez ordenado el sistema, se aplican las mismas ideas que en un sistema lineal \(2\times2\). La diferencia es que los términos independientes son matrices, así que las operaciones finales son sumas y productos por escalares de matrices.

Paso 1 Llevar todos los términos con \(X\) e \(Y\) al primer miembro y las matrices conocidas al segundo.
Paso 2 Comprobar que el determinante es distinto de cero: \[\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\neq 0\]
Paso 3 Se realizan las operaciones algebraicas correspondientes para conseguir eliminar una de las dos incógnitas en una de las dos ecuaciones. Recuerda que puedes:
  1. Cambiar el orden de las ecuaciones.
  2. Multiplicar o dividir una ecuación por un número no nulo (también tendrás que realizar esta operación en la matriz o matrices que aparezcan en la ecuación).
  3. Cambiar una ecuación por una combinación lineal de ella y de la otra, con el único requisito de que el coeficiente de esta ecuación en la combinación lineal no sea nulo.
Paso 4 Se obtiene el valor de la matriz incógnita en la ecuación en que aparece ella sola y, después, por sustitución, se obtiene el valor de la otra en la otra ecuación.
Importante: esta herramienta está pensada para coeficientes escalares delante de \(X\) e \(Y\), como \(2X-Y=A\). No resuelve productos como \(AX+BY=C\), porque en ese caso los coeficientes son matrices y el problema cambia.

Ejemplo 1

Suma y diferencia de dos matrices

Resolver:

\[ \begin{cases}X+Y=A\\X-Y=B\end{cases} \quad A=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&3\\-1&1\end{pmatrix} \]

Paso 1. Comprobación de que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO (tiene solución única):

\[ \begin{cases}X+Y=A\\X-Y=B\end{cases} \Rightarrow \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1=-2\neq 0 \Rightarrow \text{El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO} \]

Paso 2. Eliminación de una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Para eliminar la incógnita \(Y\), se suman las dos ecuaciones.

\[ 2X=A+B\Rightarrow X=\frac{1}{2}(A+B)=\frac{1}{2}\left[\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&3\\-1&1\end{pmatrix}\right]=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}6&4\\2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix} \]

Paso 3. Obtención de la segunda incógnita por sustitución.

Se sustituye el valor de la matriz \(X\) en la primera ecuación.

\[ X+Y=A\Rightarrow Y=A-X=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix} \]

SOLUCIÓN:

\[ X=\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix}\qquad Y=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix} \]

Ejemplo 2

Coeficientes escalares distintos

Resolver:

\[ \begin{cases} 2X-Y=A\\ X+3Y=B \end{cases} \quad A=\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}7&-1\\9&1\end{pmatrix} \]

Paso 1. Comprobación de que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO (tiene solución única):

\[ \begin{cases}2X-Y=A\\X+3Y=B\end{cases} \Rightarrow \begin{vmatrix}2&-1\\1&3\end{vmatrix}=6-(-1)=7\neq 0 \Rightarrow \text{El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO} \]

Paso 2. Eliminación de una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Para eliminar la incógnita \(Y\), se multiplica la primera ecuación por \(3\) y se suma a la segunda.

\[ 3(2X-Y)+(X+3Y)=3A+B\Rightarrow 7X=3A+B\Rightarrow X=\frac{3A+B}{7}=\frac{1}{7}\left[3\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7&-1\\9&1\end{pmatrix}\right]=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}7&14\\0&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \]

Paso 3. Obtención de la segunda incógnita por sustitución.

Se sustituye el valor de la matriz \(X\) en la primera ecuación.

\[ 2X-Y=A\Rightarrow Y=2X-A=2\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix} \]

SOLUCIÓN:

\[ X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\qquad Y=\begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix} \]

Ejemplo 3

Coeficientes enteros más altos

Resolver:

\[ \begin{cases}3X-2Y=A\\5X+Y=B\end{cases} \quad A=\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&2\\11&15\end{pmatrix} \]

Paso 1. Comprobación de que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO (tiene solución única):

\[ \begin{cases}3X-2Y=A\\5X+Y=B\end{cases} \Rightarrow \begin{vmatrix}3&-2\\5&1\end{vmatrix}=3\cdot1-(-2)\cdot5=13\neq 0 \Rightarrow \text{El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO} \]

Paso 2. Eliminación de una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Para eliminar la incógnita \(Y\), se multiplica la segunda ecuación por \(2\) y se suma a la primera.

\[ 3X-2Y+2(5X+Y)=A+2B\Rightarrow 13X=A+2B\Rightarrow X=\frac{A+2B}{13}=\frac{1}{13}\left[\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}4&2\\11&15\end{pmatrix}\right]=\frac{1}{13}\begin{pmatrix}13&0\\26&39\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix} \]

Paso 3. Obtención de la segunda incógnita por sustitución.

Se sustituye el valor de la matriz \(X\) en la primera ecuación.

\[ 3X-2Y=A\Rightarrow Y=\frac{3X-A}{2}=\frac{1}{2}\left[3\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix}\right]=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix} \]

SOLUCIÓN:

\[ X=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\qquad Y=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix} \]

Ejemplo 4

Coeficientes fraccionarios y matrices no cuadradas (3×2)

Resolver:

\[ \begin{cases}\dfrac{1}{2}X+2Y=A\\[6pt]X-Y=B\end{cases} \quad A=\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\\4&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix} \]

Paso 1. Comprobación de que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO (tiene solución única):

\[ \begin{cases}\frac{1}{2}X+2Y=A\\X-Y=B\end{cases} \Rightarrow \begin{vmatrix}\frac{1}{2}&2\\1&-1\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot(-1)-2\cdot1=-\frac{5}{2}\neq 0 \Rightarrow \text{El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO} \]

Paso 2. Eliminación de una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Para eliminar la incógnita \(Y\), se multiplica la segunda ecuación por \(2\) y se suma a la primera.

\[ \frac{1}{2}X+2Y+2(X-Y)=A+2B\Rightarrow\frac{5}{2}X=A+2B\Rightarrow X=\frac{2}{5}(A+2B)=\frac{2}{5}\left[\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\\4&3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}\right]=\frac{2}{5}\begin{pmatrix}5&0\\10&-5\\0&15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix} \]

Paso 3. Obtención de la segunda incógnita por sustitución.

Se sustituye el valor de la matriz \(X\) en la segunda ecuación.

\[ X-Y=B\Rightarrow Y=X-B=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\\2&0\end{pmatrix} \]

SOLUCIÓN:

\[ X=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix}\qquad Y=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\\2&0\end{pmatrix} \]

Errores frecuentes

Cuidado con...

  • Usar matrices de distinta dimensión. Las sumas \(X+Y\), \(A+B\) o \(C_1-C_2\) solo tienen sentido si todas las matrices tienen las mismas dimensiones.
  • Confundir coeficientes escalares con matrices. \(2X\) sí entra en este método; \(AX\) no.
  • Olvidar el determinante. En esta página solo se contempla el caso de sistema compatible determinado, es decir, \(\Delta\neq 0\).

Herramienta

Qué admite la calculadora

  • Ecuaciones con \(X\) e \(Y\) en cualquier miembro, por ejemplo \(X+Y=A\) y \(B=2X-Y\).
  • Coeficientes enteros, decimales o fracciones: \(3X\), \(-Y\), \((1/2)X\).
  • Términos independientes formados con matrices conocidas, como \(A+B\), \(C-D\) o \(A^t\).

Después de introducir el sistema, la página pide el número de filas y columnas de las matrices, y los valores de cada matriz conocida.

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva: escribe las dos ecuaciones, introduce las matrices conocidas y obtén \(X\) e \(Y\) con el proceso ordenado.

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