Idea clave
¿Qué hace el método de Gauss?
Se parte de la matriz ampliada del sistema y se aplican operaciones elementales por filas hasta obtener una matriz escalonada equivalente. A partir de esa matriz se estudia el número de pivotes, el número de filas no nulas y la relación entre ecuaciones e incógnitas.
Con esa información se decide si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Cuando existe solución, esta se obtiene por sustitución regresiva a partir del sistema escalonado final.
Es uno de los procedimientos fundamentales para resolver sistemas lineales de forma sistemática y clara.
Notas
Antes de empezar
- Indica bien el número de ecuaciones y de incógnitas antes de rellenar la matriz.
- Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
- Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).
Cómo se usa
Paso a paso
- Introduce las dimensiones del sistema y completa la matriz ampliada.
- Comprueba que cada ecuación esté bien trasladada a coeficientes y términos independientes.
- Pulsa calcular para ver el proceso de escalonamiento y la clasificación del sistema.
- Lee la solución final o, si procede, la descripción de los parámetros libres.
Errores típicos
Conviene vigilarlos
- Mezclar el orden de las incógnitas al construir la matriz ampliada.
- Olvidar cambiar también el término independiente al operar con filas.
- Interpretar mal una fila nula o una fila incompatible del tipo \\(0\;0\;0\mid b)\\ con \\(b\neq 0\\).
Ejemplo
Resolución completa
\[
\text{Resuelve el sistema por el método de Gauss: }\left\{
\begin{aligned}
& x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\
& 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=3 \\
& 3x_{1}-x_{2}-4x_{3}=1
\end{aligned}
\right.
\]
\[
1)\ \text{Se escribe la matriz de Gauss del sistema y se realizan las transformaciones correspondientes hasta obtener una matriz escalonada equivalente:}
\]
\[
\begin{aligned}
& \left( \begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
3 & -1 & -4
\end{matrix}\,\left|\,\begin{matrix}
1 \\
3 \\
1
\end{matrix} \right. \right)\underset{F_{2}\to F_{2}-2F_{1}}{\sim}\,\left( \begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & -3 & -1 \\
3 & -1 & -4
\end{matrix}\,\left|\,\begin{matrix}
1 \\
1 \\
1
\end{matrix} \right. \right)\underset{F_{3}\to F_{3}-3F_{1}}{\sim}\,\left( \begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & -3 & -1 \\
0 & -4 & -7
\end{matrix}\,\left|\,\begin{matrix}
1 \\
1 \\
-2
\end{matrix} \right. \right) \\
& \underset{F_{3}\to -3F_{3}+4F_{2}}{\sim}\,\left( \begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & -3 & -1 \\
0 & 0 & 17
\end{matrix}\,\left|\,\begin{matrix}
1 \\
1 \\
10
\end{matrix} \right. \right)
\end{aligned}
\]
\[
2)\ \text{Como el número de filas no nulas de la matriz escalonada es 3 y el número de incógnitas es 3, el sistema es compatible determinado; es decir, tiene solución única que se obtiene utilizando el sistema escalonado determinado por la última matriz:}
\]
\[
\begin{aligned}
& \left\{
\begin{aligned}
& x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\
& -3x_{2}-x_{3}=1 \\
& 17x_{3}=10
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
& x_{3}=\frac{10}{17} \\
& -3x_{2}-\frac{10}{17}=1\Rightarrow x_{2}=-\frac{9}{17} \\
& x_{1}-\frac{9}{17}+\frac{10}{17}=1\Rightarrow x_{1}=\frac{16}{17}
\end{aligned}
\right.
\\
& \Rightarrow \text{Sistema compatible determinado. Solución única }\left[ \begin{matrix}
x_{1}=\frac{16}{17}, & x_{2}=-\frac{9}{17}, & x_{3}=\frac{10}{17}
\end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]