Teoría, ejemplos resueltos paso a paso y herramienta interactiva para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss.
Definición
Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones en las que todas las incógnitas aparecen con exponente 1 y sin productos entre ellas. El objetivo es encontrar, si existe, la solución o soluciones del sistema.
Recuerda que una solución de un sistema es un conjunto de valores (uno para cada incógnita) que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.
En general, un sistema con \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) tiene la forma:
Los coeficientes \(a_{ij}\) y los términos independientes \(b_i\) son números reales conocidos. Dependiendo del número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales solo pueden ser de tres tipos:
Ejemplos:
1) El sistema \(\left\{\begin{aligned}&2x_{1}+3x_{2}=-1\\&-3x_{1}+x_{2}=7\end{aligned}\right.\) es compatible determinado.
Tiene únicamente la solución \(\left[x_{1}=-2,\; x_{2}=1\right]\).
2) El sistema \(\left\{\begin{aligned}&2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=7\\&x_{1}-x_{2}-2x_{3}=1\\&3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=8\end{aligned}\right.\) es compatible indeterminado.
Los valores \(\left\{\begin{aligned}&x_{1}=2+t\\&x_{2}=1-t\\&x_{3}=t\end{aligned}\right.\) satisfacen sus tres ecuaciones a la vez. Como \(t\) puede tomar cualquier valor real, el sistema tiene infinitas soluciones. Por ejemplo:
son dos soluciones de las infinitas que posee.
3) El sistema \(\left\{\begin{aligned}&2x+3y=5\\&2x+3y=6\end{aligned}\right.\) es incompatible.
No tiene ninguna solución.
Antes de empezar
Concepto clave
El primer paso del método de Gauss es traducir el sistema a su matriz ampliada de Gauss \((A\,|\,b)\): una tabla que recoge todos los coeficientes del sistema y el vector de términos independientes como columna adicional, separada por una barra vertical.
Por ejemplo, el sistema
se representa como:
Es fundamental trasladar cada coeficiente a la columna correcta. Si una incógnita no aparece en una ecuación, su coeficiente es 0.
Herramienta del método
El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada en una matriz escalonada, es decir, una matriz que verifica dos condiciones:
La obtención de esta matriz escalonada se realiza aplicando operaciones elementales por filas, que producen matrices equivalentes (con las mismas soluciones que el sistema original). Las tres operaciones permitidas son:
El algoritmo
Como ya se ha dicho, el objetivo principal es transformar la matriz ampliada en una forma escalonada. Para ello se aplican las operaciones elementales por filas de forma sistemática, trabajando de izquierda a derecha y de arriba a abajo.
Ejemplo 1 — Compatible determinado
Ejemplo 2 — Compatible indeterminado
1) Se escribe la matriz ampliada y se escalona:
2) Hay 2 filas no nulas y 3 incógnitas: sistema compatible indeterminado con 1 parámetro libre.
Tomando \(x_3 = \lambda\):
La solución depende del parámetro \(\lambda \in \mathbb{R}\). La fila de ceros indica que una ecuación era combinación lineal de las demás y no aportaba información nueva.
Ejemplo 3 — Incompatible
1) Se escribe la matriz ampliada y se escalona:
2) La segunda fila representa la ecuación \(0=3\), que es imposible. El sistema es incompatible.
No tiene solución. Siempre que aparezca una fila \((0\;\cdots\;0\mid b)\) con \(b\neq 0\), el sistema es incompatible.
Errores típicos
1) Si se obtiene la matriz escalonada:
2) Si se tiene la matriz escalonada:
Preguntas frecuentes
Practica el método de Gauss: dos ejercicios de cada tipo (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible).
¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propio sistema, seguir el escalonamiento paso a paso y obtener la clasificación y, en su caso, la solución.
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