Idea clave
¿Qué se hace exactamente?
Para calcular el rango mediante el método de Gauss se realizan operaciones elementales entre las filas de la matriz con el objetivo de simplificarla. Estas operaciones permiten obtener una matriz equivalente por filas, es decir, una matriz que tiene el mismo rango que la original.
En la matriz, cada fila tiene un pivote, que es el primer elemento de dicha fila diferente de cero. Aplicando operaciones elementales se van eliminando los elementos situados debajo de los pivotes hasta obtener una matriz escalonada. Una vez alcanzada esta forma, el rango de la matriz es igual al número de filas no nulas de la matriz resultante.
Este procedimiento es conocido como eliminación de Gauss y es uno de los métodos más utilizados para calcular el rango de una matriz.
Notas
Antes de empezar
- Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
- Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).
Operaciones elementales
Las que puedes aplicar
Opción 1Permutar el orden de dos filas \(F_i\leftrightarrow F_j\)
Opción 2Reordenar las filas dejando abajo las que más ceros tengan a la izquierda \(F\downarrow\)
Opción 3Dividir una fila por un número distinto de 0 \(F_a\to \frac{1}{m}F_a\)
Opción 4Cambiar una fila por combinación lineal de varias filas
Cómo se usa
Paso a paso
- Introduce las dimensiones de la matriz. Rellena los elementos y valida con ENTER o TAB.
- Si introduces fracciones, mantén una notación consistente \((a/b)\).
- Elige las opciones que consideres adecuadas hasta encontrar la matriz escalonada.
- También puedes utilizar Solución automática (aunque no es recomendable) para obtener la solución del ejercicio incluyendo los pasos intermedios realizados.
Errores típicos
Conviene vigilarlos
- Confundir rango con determinante (solo matrices cuadradas).
- Confundir los signos en las transformaciones mediante combinaciones lineales.
- Olvidar que en una combinación lineal, la fila del primer miembro debe estar incluida en el segundo miembro con coeficiente no nulo.
- Detectar erróneamente el pivote de cada fila.
Ejemplo rápido
Aplicación del método
\[
\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ -3 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right)
\underset{{{F}_{2}}\to 2{{F}_{2}}+3{{F}_{1}}}{\mathop{\sim}}\,
\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right)
\underset{{{F}_{3}}\to {{F}_{3}}-{{F}_{1}}}{\mathop{\sim}}\,
\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 4 & -4 & -7 \end{matrix} \right)
\underset{{{F}_{3}}\to 7{{F}_{3}}+4{{F}_{2}}}{\mathop{\sim}}\,
\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 0 & 36 & 7 \end{matrix} \right)
\]
El número de filas no nulas es 3, por tanto el rango de la matriz es 3.
rg(A)=3