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Rango de una matriz por Gauss

Álgebra lineal · Bachillerato

El rango de una matriz es el número de filas no nulas que quedan tras escalonarla. El método de Gauss aplica operaciones elementales por filas para obtener la forma escalonada y contar sus pivotes.

Rango por menores Rango con parámetro Sistemas lineales

Definición

¿Qué es el rango de una matriz?

El rango de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es el mayor número de filas (o columnas) linealmente independientes que contiene. Se denota \(\text{rg}(A)\) o \(\text{rang}(A)\), y cumple siempre:

\[0\;\leq\;\text{rg}(A)\;\leq\;\min(m,n)\]

Dos o más filas son linealmente dependientes cuando una puede expresarse como combinación lineal de las demás. En la práctica, el rango coincide con el número de filas no nulas que aparecen al escalonar la matriz; cada una de esas filas contiene un pivote (primer elemento distinto de cero de la fila), y el número de pivotes es exactamente el rango.

Idea fundamental. Las operaciones elementales por filas —permutar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar un múltiplo de una fila a otra— no modifican el rango. Por eso, la forma escalonada obtenida por Gauss tiene exactamente el mismo rango que la matriz original, y podemos leer el rango directamente contando sus filas no nulas.

El rango puede calcularse también mediante el método de los menores (buscando el mayor menor no nulo). Ambos métodos dan siempre el mismo resultado.

Propiedades

Propiedades del rango

1. Cota superior.
Para toda matriz \(A_{m\times n}\):
\(\text{rg}(A)\leq\min(m,n)\) El rango nunca puede superar ni el número de filas ni el de columnas.
2. Rango por filas = rango por columnas.
\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)\) El número de filas independientes coincide con el número de columnas independientes.

Casos especiales

Valores extremos del rango

Rango 0.
Solo la matriz nula (todos sus elementos son cero) tiene rango 0. Cualquier otra matriz tiene rango al menos 1.
Rango máximo (rango completo).
Una matriz \(m\times n\) tiene rango máximo cuando \(\text{rg}(A)=\min(m,n)\). Ocurre cuando todas sus filas (si \(m\leq n\)) o todas sus columnas (si \(n\leq m\)) son linealmente independientes.
Matriz cuadrada \(n\times n\).
Tiene rango máximo (\(\text{rg}=n\)) si y solo si su determinante es distinto de cero:
\(\text{rg}(A)=n\;\Longleftrightarrow\;\det(A)\neq 0\)
Matriz identidad.
La matriz identidad \(I_n\) siempre tiene rango \(n\).

Conexión con otros contenidos

Rango, determinante e invertibilidad

Rango y determinanteSi \(A\) es cuadrada \(n\times n\): \(\text{rg}(A)=n\Leftrightarrow\det(A)\neq 0\). Si el rango es menor que \(n\), el determinante vale 0 y la matriz es singular.
Rango e invertibilidadUna matriz cuadrada \(A\) es invertible si y solo si \(\text{rg}(A)=n\).
Rango y sistemas linealesEl teorema de Rouché-Fröbenius determina la compatibilidad de \(Ax=b\) comparando \(\text{rg}(A)\) con \(\text{rg}(A|b)\) y con el número de incógnitas.

Idea clave

¿Qué se hace exactamente?

Para calcular el rango mediante el método de Gauss se realizan operaciones elementales entre las filas de la matriz con el objetivo de simplificarla hasta obtener una matriz escalonada. Esta matriz escalonada es equivalente a la inicial y tiene el mismo rango.

En la matriz, cada fila tiene un pivote, que es el primer elemento de dicha fila diferente de cero. Aplicando operaciones elementales se van eliminando los elementos situados debajo de los pivotes hasta obtener una matriz escalonada. Una vez alcanzada esta forma, el rango de la matriz es igual al número de filas no nulas de la matriz resultante.

Este procedimiento es conocido como eliminación de Gauss y es uno de los métodos más utilizados para calcular el rango de una matriz.

Notas

Antes de empezar

  • Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
  • Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).

Operaciones elementales

Las que puedes aplicar

Opción 1Permutar el orden de dos filas \(F_i\leftrightarrow F_j\)
Opción 2Reordenar las filas dejando abajo las que más ceros tengan a la izquierda \(F\downarrow\)
Opción 3Dividir una fila por un número distinto de 0 \(F_a\to \frac{1}{m}F_a\)
Opción 4Cambiar una fila por combinación lineal de varias filas \(F_i\to aF_i+bF_j+cF_k\)

Cómo se usa

Paso a paso

  1. Introduce las dimensiones de la matriz. Rellena los elementos y valida con ENTER o TAB.
  2. Si introduces fracciones, mantén una notación consistente \((a/b)\).
  3. Elige las opciones que consideres adecuadas hasta encontrar la matriz escalonada.
  4. También puedes utilizar Solución automática para obtener la solución completa del ejercicio con todos los pasos intermedios. Es útil para verificar un resultado o estudiar el proceso.

Errores típicos

Conviene vigilarlos

  • Confundir rango con determinante (solo matrices cuadradas).
  • Confundir los signos en las transformaciones mediante combinaciones lineales.
  • Olvidar que en una combinación lineal, la fila del primer miembro debe estar incluida en el segundo miembro con coeficiente no nulo.
  • Detectar erróneamente el pivote de cada fila.

Ejemplo rápido

Aplicación del método

\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ -3 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right) \underset{{{F}_{2}}\to 2{{F}_{2}}+3{{F}_{1}}}{\mathop{\sim}}\, \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right) \underset{{{F}_{3}}\to {{F}_{3}}-{{F}_{1}}}{\mathop{\sim}}\, \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 4 & -4 & -7 \end{matrix} \right) \underset{{{F}_{3}}\to 7{{F}_{3}}+4{{F}_{2}}}{\mathop{\sim}}\, \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 0 & 36 & 7 \end{matrix} \right) \]

El número de filas no nulas es 3, por tanto el rango de la matriz es 3.

rg(A)=3

Ejercicios propuestos

Calcula el rango de cada matriz aplicando el método de Gauss. Intenta resolverlo antes de ver la solución.

Ej. 1Matriz 3×3Nivel básico · rg = 3
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 3 & 0\\-1 & 1 & -3\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 3 & 0\\-1 & 1 & -3\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3+F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\\0 & 3 & -4\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3+3F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 3 filas no nulas.
rg(A) = 3
Nota: Una matriz cuadrada 3×3 tiene rango máximo (3) cuando su determinante es distinto de cero.
Ej. 2Matriz 3×4Nivel medio · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1\\3 & 6 & 0 & 3\\2 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-3F_1\\F_3\to F_3-2F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & -3 & -1 & -2\end{matrix}\right)\underset{F_2\leftrightarrow F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1\\0 & -3 & -1 & -2\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La segunda fila original era proporcional a la primera \((F_2=3F_1)\). La forma escalonada tiene 2 filas no nulas.
rg(A) = 2
Ej. 3Matriz 4×3Nivel medio · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\4 & 1 & 5\\3 & 1 & 4\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-4F_1\\F_4\to F_4-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_3\to F_3-F_2\\F_4\to F_4-F_2}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Las filas 3 y 4 resultan ser combinaciones lineales de las anteriores. Solo hay 2 filas no nulas.
rg(A) = 2
Ej. 4Matriz 3×3Nivel básico · rg = 1
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\\3 & 6 & 9\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Las filas 2 y 3 son múltiplos de la primera. Solo queda 1 fila no nula.
rg(A) = 1
Recuerda: rg = 1 implica que todas las filas son proporcionales entre sí (o alguna es nula).
Ej. 5Matriz 2×3Nivel básico · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -2 & 3\\0 & 5 & -7\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 2 filas no nulas.
rg(A) = 2
Nota: En una matriz 2×3 el rango máximo es 2 (el menor de las dos dimensiones).
Ej. 6Matriz 2×4Nivel básico · rg = 1
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}3 & -6 & 9 & 12\\-2 & 4 & -6 & -8\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

Observa que \(F_2=-\tfrac{2}{3}F_1\), es decir, las dos filas son proporcionales. Aplicando \(3F_2\to 3F_2+2F_1\): \[\left(\begin{matrix}3 & -6 & 9 & 12\\-2 & 4 & -6 & -8\end{matrix}\right)\underset{3F_2\to 3F_2+2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}3 & -6 & 9 & 12\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Las dos filas son proporcionales. Solo hay 1 fila no nula.
rg(A) = 1
Ej. 7Matriz 3×3Nivel medio · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\2 & 1 & 1\\4 & -1 & 5\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\2 & 1 & 1\\4 & -1 & 5\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-4F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\0 & 3 & -3\\0 & 3 & -3\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\0 & 3 & -3\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La tercera fila es combinación lineal de las anteriores: \(F_3=2F_1+F_2\). Solo hay 2 filas no nulas.
rg(A) = 2
Ej. 8Matriz 4×4Nivel medio · rg = 3
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\2 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{F_4\to F_4-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 1 & -1 & -1\end{matrix}\right)\underset{F_4\to F_4-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & -1 & -3\end{matrix}\right)\underset{F_4\to F_4+F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La cuarta fila es combinación lineal de las tres primeras. La forma escalonada tiene 3 filas no nulas.
rg(A) = 3
Ej. 9Matriz 4×4Nivel medio · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 3\\2 & 4 & 3 & 8\\1 & 2 & 2 & 5\\3 & 6 & 4 & 11\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-F_1\\F_4\to F_4-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 & 2\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_3\to F_3-F_2\\F_4\to F_4-F_2}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Las filas 2, 3 y 4 resultan idénticas tras el primer paso. Solo quedan 2 filas no nulas.
rg(A) = 2
Observa: Aunque la segunda columna es el doble de la primera, el rango es 2 y no 1 porque las columnas 3 y 4 aportan independencia lineal adicional.
Ej. 10Matriz 4×3Nivel avanzado · rg = 3
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 1 & 1\\-1 & 1 & -2\\3 & 4 & 0\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3+F_1\\F_4\to F_4-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -3 & 3\\0 & 3 & -3\\0 & -2 & 3\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_3\to F_3+F_2\\3F_4\to 3F_4-2F_2}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -3 & 3\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right)\underset{F_3\leftrightarrow F_4}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -3 & 3\\0 & 0 & 3\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 3 filas no nulas, que es el máximo posible para una matriz 4×3.
rg(A) = 3
Nota: Una matriz 4×3 no puede tener rango mayor que 3, el mínimo entre sus dos dimensiones. Conviene reordenar filas al final para dejar la forma escalonada estándar.

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz, aplicar las operaciones elementales paso a paso y obtener el rango automáticamente.

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