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MATRIZ INVERSA
Fórmula de la adjunta

Álgebra lineal · Bachillerato

La fórmula de la adjunta calcula la inversa de una matriz a partir de sus adjuntos y su determinante. Es el método clásico para matrices de orden 2 y 3, y permite entender la estructura algebraica de la inversa.

Inversa por Gauss-Jordan Determinantes Operaciones con matrices

Definición

1. ¿Qué es la matriz inversa?

Dada una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\), se llama matriz inversa de \(A\) a la matriz \(A^{-1}\) que cumple:

\[A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n\]

donde \(I_n\) es la matriz identidad de orden \(n\). La inversa, cuando existe, es única.

Fórmula de la adjunta:
\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,\text{Adj}(A)^t\]

Condición de existencia

¿Cuándo existe?

La matriz \(A\) tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero:

\[\det(A) \neq 0 \implies \exists\, A^{-1}\]
  • Si \(\det(A) = 0\), la matriz se llama singular y no tiene inversa.
  • Si \(\det(A) \neq 0\), la matriz se llama regular o invertible.

Conceptos previos

2. Adjuntos y matriz adjunta

Para aplicar la fórmula de la adjunta es necesario calcular los adjuntos de cada elemento de la matriz.

Menor complementario \(M_{ij}\) El determinante de la submatriz que se obtiene eliminando la fila \(i\) y la columna \(j\) de \(A\).
Adjunto \(A_{ij}\) El menor complementario con el signo correspondiente a su posición: \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\).
Matriz de signos La matriz \((-1)^{i+j}\) que determina el signo de cada cofactor. Para orden 3: \(\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}\).
Matriz adjunta \(\text{Adj}(A)\) La matriz formada por todos los adjuntos \(A_{ij}\) en su posición \((i,j)\).

Para una matriz 3×3 hay que calcular 9 adjuntos, cada uno como el determinante de una submatriz 2×2 con su signo correspondiente.

Método

3. La fórmula de la adjunta

La matriz adjunta de \(A\), denotada \(\text{Adj}(A)\), está formada por los adjuntos \(A_{ij}\) de cada elemento de \(A\).

La fórmula de la inversa es:

\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,\text{Adj}(A)^t\]

El proceso tiene cuatro pasos:

  1. Calcular \(\det(A)\). Si es cero, la inversa no existe. Si es distinto de cero, continuar.
  2. Calcular la matriz adjunta \(\text{Adj}(A)\). Para cada posición \((i,j)\), calcular el adjunto \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\).
  3. Trasponer la adjunta. Calcular \(\text{Adj}(A)^t\).
  4. Dividir por el determinante. \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,\text{Adj}(A)^t\).

Para matrices 2×2 existe una fórmula directa que evita calcular los adjuntos uno a uno. Para matrices 3×3 es necesario el proceso completo.

Caso especial

4. Fórmula directa para matrices 2×2

Para una matriz \(A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) con \(\det(A)=ad-bc\neq 0\), la fórmula de la adjunta se simplifica directamente a:

\[A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\]

Es decir: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambian de signo los de la diagonal secundaria, y se divide todo por el determinante. No hace falta calcular cofactores explícitamente.

Ejemplo resuelto

5. Ejemplo 2×2

Calcular la inversa de \(A = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\).

Paso 1. Determinante:

\[\det(A)=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1\neq 0\]

Paso 2. Aplicar la fórmula directa 2×2:

\[A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}\]

Comprobación: \(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-5&-3+3\\10-10&-5+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\checkmark\)

Ejemplo resuelto

6. Ejemplo 3×3

Calcular la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}\).

Paso 1. Determinante.

\[\det(A)=1\cdot(1\cdot2-1\cdot0)-2\cdot(0\cdot2-1\cdot1)+0=1\cdot2-2\cdot(-1)=2+2=4\neq 0\]

Paso 2. Matriz adjunta. Aplicando \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\):

\[ \text{Adj}(A)=\begin{bmatrix} +\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}0&1\\1&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}\\[18pt] -\begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&0\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}\\[18pt] +\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2&1&-1\\-4&2&2\\2&-1&1\end{bmatrix} \]

Paso 3. Traspuesta de la adjunta:

\[\text{Adj}(A)^t=\begin{pmatrix}2&-4&2\\1&2&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}\]

Paso 4. Inversa:

\[A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2&-4&2\\1&2&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&-1&1/2\\1/4&1/2&-1/4\\-1/4&1/2&1/4\end{pmatrix}\]

Comprobación: \(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/2&-1&1/2\\1/4&1/2&-1/4\\-1/4&1/2&1/4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\checkmark\)

Atención

7. Errores más comunes al calcular la inversa por adjunta

  • Olvidar aplicar el signo \((-1)^{i+j}\). El cofactor no es el menor solo: lleva el signo de su posición. La matriz de signos \(\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}\) ayuda a no cometer este error.
  • Eliminar la fila y columna incorrectas. Para calcular \(M_{ij}\) se elimina la fila \(i\) y la columna \(j\), no la fila \(j\) y la columna \(i\).
  • Orden entre trasponer y dividir. Ambas operaciones son intercambiables: se puede trasponer primero y luego dividir, o dividir primero y luego trasponer. El resultado es el mismo.
  • No comprobar el resultado. Siempre conviene verificar que \(A \cdot A^{-1} = I\), al menos para uno o dos elementos.
  • Aplicar este método a matrices de orden 4 o superior. Para órdenes altos el método de Gauss-Jordan es mucho más eficiente. La fórmula de la adjunta es práctica sobre todo para órdenes 2 y 3.

Preguntas frecuentes

FAQ

  • ¿Qué diferencia hay entre este método y el de Gauss-Jordan? Con Gauss-Jordan se aplican operaciones elementales sobre la matriz ampliada \([A\mid I]\). Con la adjunta se trabaja con determinantes de submatrices. Ambos dan el mismo resultado, pero Gauss-Jordan es más eficiente para matrices grandes y la adjunta es más ilustrativa para entender la estructura algebraica de la inversa.
  • ¿Qué es exactamente la matriz adjunta? La matriz adjunta \(\text{Adj}(A)\) está formada por los adjuntos \(A_{ij}\) de cada elemento. Para obtener la inversa se usa su traspuesta: \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,\text{Adj}(A)^t\).
  • ¿Puede una matriz cuadrada no tener inversa? Sí: exactamente cuando \(\det(A)=0\) (matriz singular). En ese caso la fórmula no es aplicable porque implica dividir por cero.
  • ¿Tiene sentido hablar de inversa de una matriz no cuadrada? No en el sentido habitual. La inversa solo se define para matrices cuadradas.
  • ¿La inversa sirve para resolver sistemas? Sí: si \(Ax=b\) y \(A\) es invertible, entonces \(x=A^{-1}b\). Para sistemas de pocas incógnitas la regla de Cramer puede ser más cómoda, y para sistemas grandes el método de Gauss es más eficiente.
  • ¿Hay relación entre la adjunta y los determinantes? Sí. El producto \(A \cdot \text{Adj}(A)^t = \det(A) \cdot I\). Esta identidad es la base de la fórmula de la inversa y también se usa para demostrar que la inversa es única.

Ejercicios propuestos

Calcula la inversa de cada matriz usando la fórmula de la adjunta. Intenta resolverlo antes de ver la solución.

Ej. 1InvertibleMatriz 2×2 · Nivel básico
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}4&3\\3&2\end{pmatrix}\) usando la fórmula de la adjunta.

Determinante

\[\det(A)=4\cdot2-3\cdot3=8-9=-1\neq 0\]

Fórmula directa 2×2

\[A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}2&-3\\-3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3\\3&-4\end{pmatrix}\]

Comprobación

\[A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}4&3\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&3\\3&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8+9&12-12\\-6+6&9-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\checkmark\] \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&3\\3&-4\end{pmatrix}\)
Ej. 2SingularMatriz 2×2 · Nivel básico
Determina si \(A=\begin{pmatrix}6&4\\3&2\end{pmatrix}\) tiene inversa. Si no la tiene, explica por qué.

Determinante

\[\det(A)=6\cdot2-4\cdot3=12-12=0\] La matriz es singular: su determinante es cero, por lo que no existe \(A^{-1}\).
Observación: La fila 2 es la mitad de la fila 1 (\(F_2=\tfrac{1}{2}F_1\)), lo que confirma que las filas son linealmente dependientes y el determinante es nulo.
La matriz no tiene inversa.
Ej. 3InvertibleMatriz 3×3 · Nivel medio
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}\).

Determinante

La matriz es triangular inferior, por lo que \(\det(A)=1\cdot1\cdot1=1\neq 0\).

Matriz adjunta

\[\text{Adj}(A)=\begin{bmatrix} +\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2&1\\3&2\end{vmatrix}\\[18pt] -\begin{vmatrix}0&0\\2&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\3&2\end{vmatrix}\\[18pt] +\begin{vmatrix}0&0\\1&0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\2&0\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix}\]

Traspuesta de la adjunta

\[\text{Adj}(A)^t=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}\]

Inversa

\[A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}\]

Comprobación

\[\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\checkmark\] \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}\)
Observación: La inversa de una matriz triangular inferior es también triangular inferior. La diagonal de la inversa es el inverso de cada elemento diagonal de \(A\); como todos valen 1, la diagonal de \(A^{-1}\) también es de unos.
Ej. 4InvertibleMatriz 3×3 · Nivel medio-alto
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\).

Determinante

\[\det(A)=2(4-1)-1(2-1)+1(1-2)=6-1-1=4\neq 0\]

Matriz adjunta

\[\text{Adj}(A)=\begin{bmatrix} +\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\\[18pt] -\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}\\[18pt] +\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{bmatrix}\]

Traspuesta de la adjunta

En este caso \(\text{Adj}(A)\) es simétrica, por lo que \(\text{Adj}(A)^t=\text{Adj}(A)\): \[\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}\]

Inversa

\[A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}\]

Comprobación (primera fila × primera columna)

\[\tfrac{1}{4}(3\cdot2+(-1)\cdot1+(-1)\cdot1)=\tfrac{1}{4}(6-1-1)=\tfrac{4}{4}=1\checkmark\] \(A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}\)
Observación: La matriz \(A\) es simétrica y su inversa también lo es. Además la matriz adjunta coincide con su propia traspuesta, lo que simplifica el cálculo.

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz, calcular la inversa por la fórmula de la adjunta paso a paso y obtener el resultado automáticamente.

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