Una matriz es escalonada cuando:
- Las filas nulas están situadas en los últimos lugares.
- El pivote de cada fila no nula está situado más a la derecha que el pivote de la fila inmediatamente anterior. El pivote de cada fila no nula es el primer elemento no nulo de dicha fila.
La forma escalonada se obtiene aplicando operaciones elementales por filas
y es fundamental para estudiar el rango de una matriz o para resolver
sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.
Esta herramienta permite obtener una matriz escalonada equivalente por filas a otra dada. Se utilizará la eliminación gaussiana; es decir,
la obtención de ceros debajo de los pivotes aplicando las operaciones elementales por filas. El pivote de cada fila es el primer elemento no nulo de dicha fila.
Estas operaciones elementales son:
- Permutar el orden de dos filas \((F_i \leftrightarrow F_j)\)
- Reordenar las filas dejando abajo las que más ceros tengan a la izquierda \((F\downarrow)\)
- Simplificar los elementos de una fila dividiéndolos por un mismo número \((F_a\to \frac{1}{m}F_a)\)
- Cambiar una fila por una combinación lineal de ella y de otras filas \((F_i\to aF_i+bF_j+cF_k)\)
Cómo se usa
- Introduce el número de filas y columnas.
- Rellena los elementos de la matriz (enteros, decimales o fracciones).
- Realiza las operaciones que consideres adecuadas, eligiendo entre las opciones propuestas, hasta que obtengas una matriz escalonada.
- Alternativamente, pero no recomendado, puedes pulsar "solución automática" para obtener una de las posibles soluciones. En este caso, aparecerán también los pasos intermedios utilizados.
Ejemplo rápido (3×4)
Se aplican operaciones por filas para anular los elementos bajo los pivotes.
\[
\left( \begin{matrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
2 & 4 & 1 & 7 \\
-1 & 1 & 2 & 0 \\
\end{matrix} \right)\underset{{{F}_{2}}\to {{F}_{2}}-2{{F}_{1}}}{\mathop{\sim }}\,\left( \begin{matrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
-1 & 1 & 2 & 0 \\
\end{matrix} \right)\underset{{{F}_{3}}\to {{F}_{3}}+{{F}_{1}}}{\mathop{\sim }}\,\left( \begin{matrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 3 \\
\end{matrix} \right)\underset{F\downarrow }{\mathop{\sim }}\,\left( \begin{matrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 3 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
\end{matrix} \right)
\]
La matriz final es escalonada: los pivotes aparecen cada vez más a la derecha y las filas nulas (si las hubiera) quedan abajo.
Errores típicos
- No validar algún dato (ENTER/TAB) y dejar una celda sin guardar.
- Confundir “escalonada” con “reducida”: aquí no es obligatorio que los pivotes sean 1 (es suficiente con que no sean nulos)
- Se debe tener cuidado con los signos de los coeficientes en los cambios de filas mediante combinaciones lineales.