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Matriz escalonada

Álgebra lineal · Bachillerato
Rango de una matriz Rango con parámetro Sistemas lineales Sistemas con parámetro

Definición formal de matriz escalonada

Una matriz \(A\) de orden \(m \times n\) se dice que está en forma escalonada por filas si cumple simultáneamente las dos condiciones siguientes:

  • Todas las filas nulas (si las hay) están situadas en los últimos lugares, debajo de todas las filas no nulas.
  • El pivote de cada fila no nula —es decir, su primer elemento distinto de cero— está situado estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila inmediatamente anterior.

Notas:

  • Esta definición implica que por debajo de cada pivote solo pueden aparecer ceros.
  • Los pivotes no tienen por qué ser iguales a 1; basta con que sean distintos de cero.
  • Cuando además todos los pivotes valen 1 y por encima de cada pivote también hay ceros, se habla de forma escalonada reducida, que es un caso más estricto y no es el objetivo de esta herramienta.

Ejemplos de matrices escalonadas

\[A=\begin{pmatrix} \mathbf{2} & 5 & -1 \\ 0 & \mathbf{3} & 4 \\ 0 & 0 & \mathbf{7} \end{pmatrix}\]
\[B=\begin{pmatrix} \mathbf{1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & \mathbf{-4} & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
\[C=\begin{pmatrix} \mathbf{3} & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & \mathbf{5} & 1 \end{pmatrix}\]

Ejemplos de matrices no escalonadas

\[A=\begin{pmatrix} 0 & \mathbf{1} & 3 \\ \mathbf{2} & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\]

El pivote de la fila 2 está más a la izquierda que el de la fila 1.

\[B=\begin{pmatrix} \mathbf{1} & 2 & 3 \\ 0 & \mathbf{4} & 1 \\ \mathbf{2} & 0 & 5 \end{pmatrix}\]

El elemento \(a_{31}\) es no nulo, estando por debajo del pivote de la primera columna.

\[C=\begin{pmatrix} \mathbf{3} & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{5} & 1 \end{pmatrix}\]

La fila nula no está al final: debajo de ella hay una fila no nula.

Operaciones elementales por filas

La forma escalonada se obtiene aplicando operaciones elementales por filas, que son transformaciones que no alteran el rango de la matriz ni el conjunto de soluciones de un sistema asociado. Existen tres tipos:

  • Permutación de filas \((F_i \leftrightarrow F_j)\): intercambiar dos filas completas. Resulta útil cuando el pivote de una fila es cero y conviene buscar una fila con un elemento no nulo en esa posición.
  • Multiplicación de una fila por un escalar no nulo \((F_i \to k \cdot F_i,\ k \neq 0)\): multiplicar o dividir todos los elementos de una fila por un mismo número. Se usa habitualmente para simplificar fracciones o para hacer que el pivote valga 1.
  • Combinación lineal de filas \((F_i \to aF_i + bF_j + cF_k)\): reemplazar una fila por una combinación lineal de ella y de otras, con la única condición de que el coeficiente de la fila que se quiere cambiar debe ser no nulo.

Notas:

  • Cualquier secuencia de operaciones elementales por filas conduce a una matriz equivalente por filas a la original y, por tanto, con el mismo rango.
  • La forma escalonada resultante no es única. Puede haber varias secuencias de operaciones que lleven a formas escalonadas distintas pero equivalentes. En cualquier caso, el número de pivotes y el rango se conservan.

Cómo se usa

  • Introduce el número de filas y columnas.
  • Rellena los elementos de la matriz (enteros, decimales o fracciones).
  • Realiza las operaciones que consideres adecuadas, eligiendo entre las opciones propuestas, hasta que obtengas una matriz escalonada.
  • Alternativamente, pero no recomendado, puedes pulsar "solución automática" para obtener una de las posibles soluciones. En este caso, aparecerán también los pasos intermedios utilizados.

Ejemplo resuelto paso a paso (3×4)

Se parte de una matriz 3×4 y se aplican operaciones elementales por filas hasta obtener la forma escalonada.

Matriz inicial:

\[ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 7 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \right) \]

Paso 1: Se elige \(a_{11} = 1\) como pivote de la primera fila. Se aplica \(F_2 \to F_2 - 2F_1\) para introducir un cero en la posición (2,1):

\[ \left( \begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 \\2 & 4 & 1 & 7 \\-1 & 1 & 2 & 0\end{matrix} \right) \underset{F_2 \to F_2 - 2F_1}{\mathop{\sim}}\, \left( \begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & 1 \\-1 & 1 & 2 & 0\end{matrix} \right) \]

Paso 2: Se aplica \(F_3 \to F_3 + F_1\) para introducir un cero en la posición (3,1):

\[ \left( \begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & 1 \\-1 & 1 & 2 & 0\end{matrix} \right) \underset{F_3 \to F_3 + F_1}{\mathop{\sim}}\, \left( \begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & 1 \\0 & 3 & 1 & 3\end{matrix} \right) \]

Paso 3: El pivote natural de la segunda fila sería \(a_{22}\), pero es 0. Se reordenan las filas \((F \downarrow)\) para que el pivote quede más a la izquierda:

\[ \left( \begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 3 & 1 \\0 & 3 & 1 & 3\end{matrix} \right) \underset{F\downarrow}{\mathop{\sim}}\, \left( \begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 \\0 & 3 & 1 & 3 \\0 & 0 & 3 & 1\end{matrix} \right) \]

La matriz final es escalonada: los tres pivotes (1, 3 y 3) aparecen cada vez más a la derecha, y por debajo de cada uno solo hay ceros. El rango de esta matriz es 3, ya que hay tres filas no nulas.

Segundo ejemplo: matriz con fila nula (3×3)

Este ejemplo ilustra el caso en que la forma escalonada tiene una fila nula, lo que indica que el rango es menor que el número de filas.

\[ B = \left(\begin{matrix}2 & -1 & 3 \\4 & -2 & 6 \\1 & 0 & 2\end{matrix}\right) \underset{F_1 \leftrightarrow F_3}{\mathop{\sim}}\, \left(\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\4 & -2 & 6 \\2 & -1 & 3\end{matrix}\right) \underset{F_2 \to F_2 - 4F_1}{\mathop{\sim}}\, \left(\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\0 & -2 & -2 \\2 & -1 & 3\end{matrix}\right) \underset{F_3 \to F_3 - 2F_1}{\mathop{\sim}}\, \left(\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\0 & -2 & -2 \\0 & -1 & -1\end{matrix}\right) \] \[ \underset{F_3 \to F_3 - \frac{1}{2}F_2}{\mathop{\sim}}\, \left(\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\0 & -2 & -2 \\0 & 0 & 0\end{matrix}\right) \]

La tercera fila es nula, lo que indica que las filas de la matriz original eran linealmente dependientes. El rango de \(B\) es 2.

Tercer ejemplo: matriz 3×4 con rango 3

En este ejemplo la matriz tiene más columnas que filas. El escalonamiento requiere reordenar filas para situar el pivote adecuado en cada posición.

\[ C = \left(\begin{matrix}2 & 1 & 3 & 0 \\4 & 2 & 7 & 1 \\2 & 3 & 5 & 2\end{matrix}\right) \underset{F_2 \to F_2 - 2F_1}{\mathop{\sim}}\, \left(\begin{matrix}2 & 1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 1 & 1 \\2 & 3 & 5 & 2\end{matrix}\right) \underset{F_3 \to F_3 - F_1}{\mathop{\sim}}\, \left(\begin{matrix}2 & 1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 2 & 2 & 2\end{matrix}\right) \underset{F_2 \leftrightarrow F_3}{\mathop{\sim}}\, \left(\begin{matrix}2 & 1 & 3 & 0 \\0 & 2 & 2 & 2 \\0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right) \]

La forma escalonada tiene tres pivotes (2, 2 y 1), uno por fila. El intercambio de filas en el último paso fue necesario porque el pivote natural de la segunda fila era cero. El rango de \(C\) es 3.

Relación con otros conceptos de álgebra lineal Ampliación

Esta sección conecta la forma escalonada con otros temas del currículo. No es imprescindible para usar la herramienta, pero ayuda a entender por qué el escalonamiento es tan útil en álgebra lineal.

La forma escalonada no es un fin en sí misma, sino una herramienta que facilita el estudio de otros conceptos fundamentales:

  • Rango de una matriz: el rango coincide con el número de filas no nulas de la forma escalonada. Si la forma escalonada tiene \(r\) pivotes, entonces \(\text{rg}(A) = r\).
  • Sistemas de ecuaciones lineales: escalonar la matriz ampliada de un sistema permite determinar si es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible, y en caso de ser compatible, obtener la solución.
  • Dependencia lineal: si alguna fila se convierte en nula durante el escalonamiento, indica que esa fila era combinación lineal de las demás, es decir, que las filas son linealmente dependientes.
  • Determinantes: aunque el escalonamiento no se usa directamente para calcular determinantes, la relación entre matrices equivalentes por filas y el determinante (cada permutación cambia el signo, cada multiplicación escala el valor) está presente en muchos métodos de cálculo.

Errores típicos

  • No validar algún dato (ENTER/TAB) y dejar una celda sin guardar.
  • Confundir "escalonada" con "reducida": aquí no es obligatorio que los pivotes sean 1 (es suficiente con que no sean nulos).
  • Tener especial cuidado con los signos de los coeficientes en los cambios de filas mediante combinaciones lineales.
  • Olvidar reordenar las filas cuando el pivote natural de una posición es cero: en ese caso hay que buscar una fila inferior con un elemento no nulo en esa columna e intercambiarlas.
  • Pensar que la forma escalonada es única: pueden existir varias formas escalonadas equivalentes a una misma matriz, aunque todas tendrán el mismo número de pivotes.

Preguntas frecuentes

  • ¿Es obligatorio que los pivotes sean 1? No. En la forma escalonada ordinaria los pivotes pueden ser cualquier número distinto de cero. Solo en la forma escalonada reducida se exige que los pivotes sean 1.
  • ¿Puede haber más de una forma escalonada equivalente a una matriz? Sí. La secuencia de operaciones no es única y puede dar lugar a distintas formas escalonadas, pero todas tendrán el mismo número de pivotes y, por tanto, el mismo rango.
  • ¿Qué ocurre si la matriz ya es escalonada? No es necesario realizar ninguna operación. La herramienta lo detectará y no propondrá transformaciones adicionales.
  • ¿Se puede usar con matrices que tengan fracciones? Sí. La herramienta admite fracciones en los elementos, lo que es habitual cuando se aplica la operación de simplificación de una fila dividiéndola por su pivote.

Ejercicios propuestos

Transforma cada matriz en una forma escalonada equivalente mediante operaciones elementales por filas.

Ej. 1Matriz 3×3Nivel básico · rg = 2
Obtén una forma escalonada de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}2 & 4 & 6\\1 & 3 & 5\\3 & 5 & 7\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Intercambio para obtener pivote 1

\[\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 3 & 5\\2 & 4 & 6\\3 & 5 & 7\end{matrix}\right)\]

Paso 2 — Eliminar la primera columna

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 3 & 5\\0 & -2 & -4\\0 & -4 & -8\end{matrix}\right)\]

Paso 3 — Eliminar la segunda columna

\[\underset{F_3\to F_3-2F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 3 & 5\\0 & -2 & -4\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\] La fila 3 original era combinación lineal de las anteriores.
Forma escalonada obtenida · rg = 2
Ej. 2Matriz 3×4Nivel medio · rg = 3
Obtén una forma escalonada de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\2 & 0 & 1 & 4\\1 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Intercambio para tener pivote ≠ 0 en (1,1)

\[\underset{F_1\leftrightarrow F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\2 & 0 & 1 & 4\\0 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right)\]

Paso 2 — Eliminar primera columna

\[\underset{F_2\to F_2-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & -2 & -1 & 2\\0 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right)\]

Paso 3 — Eliminar segunda columna

\[\underset{F_3\to 2F_3+F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & -2 & -1 & 2\\0 & 0 & 3 & 8\end{matrix}\right)\]
Forma escalonada obtenida · rg = 3
Ej. 3Matriz 4×3Nivel medio · rg = 2
Obtén una forma escalonada de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\4 & 1 & 5\\3 & 1 & 4\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Eliminar primera columna

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-4F_1\\F_4\to F_4-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\]

Paso 2 — Eliminar segunda columna

\[\underset{\substack{F_3\to F_3-F_2\\F_4\to F_4-F_2}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\] Las filas 3 y 4 eran iguales a la fila 2 y quedan nulas.
Forma escalonada obtenida · rg = 2
Ej. 4Matriz 3×3Nivel medio · rg = 3 con intercambio
Obtén una forma escalonada de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2\\1 & 0 & 3\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Intercambio para pivote ≠ 0 en (1,1)

\[\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 3\\0 & 1 & 2\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right)\]

Paso 2 — Eliminar primera columna

\[\underset{F_3\to F_3-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & -1 & -6\end{matrix}\right)\]

Paso 3 — Eliminar segunda columna

\[\underset{F_3\to F_3+F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & -4\end{matrix}\right)\]
Forma escalonada obtenida · rg = 3
Recuerda: El intercambio de filas no cambia el rango de la matriz, pero sí cambia el signo del determinante.

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz, aplicar operaciones elementales paso a paso y obtener la forma escalonada con tu trabajo o automáticamente.

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