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Rango de una matriz con parámetro (método de Gauss)

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Calcula el rango de una matriz con un parámetro usando el método de Gauss. La idea es escalonar la matriz y estudiar los valores del parámetro que anulan algún pivote y/o convierten una fila en nula. Un pivote de una fila es el primer elemento no nulo de dicha fila.

Estudio por casosParámetrosEliminación de Gauss

Idea clave

¿Qué se hace exactamente?

Cuando una matriz contiene un parámetro, su rango puede variar según el valor que tome dicho parámetro. Por eso no basta con escalonar sin más: hay que observar en qué momento aparece una expresión que puede anularse y, a partir de ahí, separar el estudio en casos.

El procedimiento consiste en realizar operaciones elementales por filas o columnas hasta obtener una matriz escalonada. Después se identifican los valores del parámetro que hacen nulo algún pivote o toda una fila, y finalmente se calcula el rango en cada caso particular y en el caso general.

En resumen: primero se simplifica la matriz y después se hace un estudio por casos para decidir cuántas filas no nulas quedan en cada situación.

Notas

Antes de empezar

  • Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
  • Escribe siempre el parámetro con la misma letra en toda la matriz.
  • Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).

Operaciones elementales

Las que puedes aplicar

Opción 1Permutar el orden de dos filas o dos columnas.
Opción 2Reordenar para colocar antes la fila o columna más conveniente.
Opción 3Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0.
Opción 4Sustituir una fila por una combinación lineal de varias filas.

Cómo se usa

Paso a paso

  1. Introduce las dimensiones de la matriz. Rellena los elementos y valida con ENTER o TAB.
  2. Aplica operaciones elementales hasta obtener una matriz escalonada.
  3. Observa qué valores del parámetro anulan algún pivote y/o hacen alguna fila nula.
  4. Estudia los casos particulares y, por último, el caso general.

Errores típicos

Conviene vigilarlos

  • Olvidar estudiar los valores del parámetro que anulan un pivote.
  • Concluir el rango antes de analizar si una fila puede hacerse nula.
  • Perder el control de los signos al operar con expresiones algebraicas.
  • Confundir un caso particular con el caso general.

Ejemplo rápido

Aplicación del método

Estudia el rango de la matriz A según los valores del parámetro a

\[ A=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 1\\ a-1 & 2 & -1 & 0\\ 1 & -2 & a+1 & 8 \end{matrix} \right) \]

1) Se realizan las transformaciones hasta encontrar una matriz escalonada

\[ \begin{aligned} &\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 1\\ a-1 & 2 & -1 & 0\\ 1 & -2 & a+1 & 8 \end{matrix} \right)\underset{{{C}_{1}}\leftrightarrow {{C}_{4}}}{\mathop{\sim }}\,\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -1 & a-1\\ 8 & -2 & a+1 & 1 \end{matrix} \right)\\[6pt] &\underset{{{F}_{3}}\to {{F}_{3}}-8{{F}_{1}}}{\mathop{\sim }}\,\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -1 & a-1\\ 0 & -10 & a+1 & -15 \end{matrix} \right)\underset{{{F}_{3}}\to {{F}_{3}}+5{{F}_{2}}}{\mathop{\sim }}\,\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -1 & a-1\\ 0 & 0 & a-4 & 5a-20 \end{matrix} \right) \end{aligned} \]

2) Se observan los valores de a que hacen que alguna de las filas sea nula. En este caso, se observa que para a=4 la tercera fila es nula.

3) Se estudian los casos particulares:

\[ \text{Para }a=4\Rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)\Rightarrow \text{nº de filas no nulas es 2}\Rightarrow rg(A)=2 \]

4) Se estudia el caso general:

\[ \text{Para }a\neq 4\Rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & -1 & a-1\\ 0 & 0 & a-4 & 5a-20 \end{matrix} \right)\Rightarrow \text{nº de filas no nulas es 3}\Rightarrow rg(A)=3 \]
Si a=4, rg(A)=2Si a≠4, rg(A)=3