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RANGO CON PARÁMETRO
Método de Gauss — discusión por casos

Álgebra lineal · Bachillerato

Cuando una matriz contiene un parámetro, su rango puede variar según el valor de dicho parámetro.

Para resolver este tipo de ejercicio por el método de Gauss, se escalonada la matriz y se estudian los casos en que algún pivote o fila se anula, realizando una discusión por casos completa.

Rango numérico por Gauss Rango con parámetro (menores) Sistemas con parámetro

¿Qué es el rango de una matriz con parámetro?

El rango de una matriz \(A\) es el número de filas no nulas de cualquier forma escalonada equivalente a \(A\). Equivalentemente, es la dimensión del espacio generado por sus filas o por sus columnas.

Cuando una o varias entradas de la matriz dependen de un parámetro \(\lambda\) (o \(a\), \(k\), \(m\)…), el proceso de escalonamiento produce pivotes que son expresiones algebraicas en ese parámetro. Estas expresiones pueden anularse para determinados valores, haciendo que alguna fila se convierta en fila nula y reduciendo el rango.

Por eso el problema no consiste en calcular un único número, sino en hacer una discusión por casos: determinar para qué valores del parámetro el rango es menor que el máximo y qué valor toma en cada situación.

Rango sin parámetro

La matriz se escalonada y se cuenta el número de filas no nulas. El resultado es un único número fijo.

Rango con parámetro

Al escalonar aparecen pivotes algebraicos. Hay que identificar los valores que los anulan y analizar el rango en cada caso resultante.

Propiedades básicas del rango

  • Para una matriz \(A\) de orden \(m\times n\), siempre se cumple \(0\le\text{rg}(A)\le\min(m,n)\).
  • Las operaciones elementales de fila o columna no alteran el rango: la matriz resultante es equivalente a la original.
  • Si \(\text{rg}(A)=\min(m,n)\), la matriz tiene rango máximo.
  • Una fila de ceros no contribuye al rango; una fila no nula sí lo hace.
  • \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^t)\): el rango de una matriz coincide con el de su traspuesta.

Método y definiciones

El método de Gauss con parámetro

Definición de rango.
El rango de una matriz \(A\) es el número de filas no nulas en cualquier forma escalonada equivalente a \(A\).

Propiedades 1) \(\text{rg}(A)\le\min(m,n)\) para una matriz \(m\times n\). 2) \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^t)\). 3) Las operaciones elementales preservan el rango.
Rango con parámetro.
Si la matriz \(A\) depende de un parámetro \(\lambda\), al escalonarla se obtiene una forma del tipo: \(\left(\begin{matrix}\ast & \cdots & \cdots \\ 0 & f(\lambda) & \cdots \\ 0 & 0 & g(\lambda)\end{matrix}\right)\) donde \(f(\lambda)\) y \(g(\lambda)\) son expresiones algebraicas en \(\lambda\). Para los valores que anulan cada una, el número de filas no nulas disminuye.
Idea clave Hay que identificar todos los valores del parámetro que hacen nulo algún pivote o toda una fila, y para cada uno calcular el rango resultante.
Operaciones elementales de fila.
Son las únicas que se usan en el escalonamiento y que no alteran el rango: 1) Intercambio: \(F_i \leftrightarrow F_j\) 2) Escala: \(F_i \to k\, F_i\), con \(k\neq 0\) 3) Combinación lineal: \(F_i \to aF_i + bF_j + cF_k\), con \(a\neq 0\) Nota: también pueden usarse operaciones elementales de columna con el mismo efecto sobre el rango.
Estudio por casos.
Una vez escalonada la matriz, se identifican los pivotes que contienen el parámetro: Procedimiento 1) Determinar los valores del parámetro que anulan cada pivote o hacen nula una fila completa. 2) Para cada valor crítico, sustituir en la forma escalonada y contar las filas no nulas. 3) Para el caso general (ningún valor crítico), el rango es el máximo posible. 4) Si al sustituir un valor crítico se anula otro pivote, estudiar ese subcaso por separado.

Condiciones

Cuándo y cómo se estudian los casos

  • Valor crítico: cualquier valor del parámetro que haga nulo un pivote o una fila entera de la forma escalonada.
  • Número de casos: si hay \(k\) expresiones independientes que pueden anularse, hay en general hasta \(k+1\) casos distintos.
  • Caso general: el parámetro no toma ningún valor crítico; todos los pivotes son no nulos; el rango es el máximo.
  • Casos particulares: se sustituye el valor crítico y se verifica cuántas filas no nulas quedan realmente.
  • Precaución: al sustituir un valor crítico, puede que otra expresión también se anule, generando subcasos adicionales que conviene examinar.
  • División por el parámetro: si durante el escalonamiento se divide una fila por una expresión que contiene el parámetro, esa expresión no puede ser cero; eso añade una restricción que hay que tratar como caso separado.

Ejemplo resuelto

Estudia el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro \(a\):

\[A=\left(\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 1\\ a-1 & 2 & -1 & 0\\1 & -2 & a+1 & 8\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Escalonamiento. Se aplican operaciones elementales:

\[\begin{aligned}&\left(\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 1\\ a-1 & 2 & -1 & 0\\1 & -2 & a+1 & 8\end{matrix}\right)\underset{C_1\leftrightarrow C_4}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & a-1\\8 & -2 & a+1 & 1\end{matrix}\right)\\[6pt]&\underset{F_3\to F_3-8F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & a-1\\0 & -10 & a+1 & -15\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3+5F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & a-1\\0 & 0 & a-4 & 5a-20\end{matrix}\right)\end{aligned}\]

Paso 2 — Identificación del valor crítico. El tercer pivote es \(a-4\). Se anula cuando \(\boldsymbol{a=4}\). En ese caso la tercera fila se convierte en \((0,0,0,0)\).

Paso 3 — Caso particular \(a=4\):

\[\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & 3\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\Rightarrow 2\text{ filas no nulas}\Rightarrow\text{rg}(A)=2\]

Paso 4 — Caso general \(a\neq 4\):

\[\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & a-1\\0 & 0 & a-4 & 5a-20\end{matrix}\right)\Rightarrow 3\text{ filas no nulas}\Rightarrow\text{rg}(A)=3\]
Si a=4, rg(A)=2Si a≠4, rg(A)=3

Cómo se usa

Paso a paso

1. Introducir la matrizFija las dimensiones y rellena los elementos. Usa la misma letra para el parámetro en toda la matriz. Valida con ENTER o TAB.
2. EscalonarAplica operaciones elementales de fila o columna hasta obtener una forma escalonada con ceros debajo de los pivotes.
3. Analizar y concluirIdentifica los valores críticos del parámetro, estudia cada caso particular y determina el rango en el caso general.

Errores típicos

Conviene vigilarlos

  • Olvidar estudiar los valores del parámetro que anulan un pivote.
  • Concluir el rango antes de analizar si alguna fila puede hacerse nula.
  • Perder el control de los signos al operar con expresiones algebraicas.
  • Confundir un caso particular con el caso general.
  • Dividir una fila por una expresión que podría ser cero.
  • No contemplar subcasos cuando al sustituir un valor crítico se anula otro pivote.

Notas

Antes de empezar

  • Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
  • Escribe siempre el parámetro con la misma letra en toda la matriz.
  • Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).
  • La calculadora admite parámetros con valores enteros o racionales.

Ejercicios propuestos

Calcula el rango según los valores del parámetro. Escalonada la matriz y analiza cada caso.

Ej. 1Parámetro aNivel medio · tres casos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(a\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & a & a\\1 & a & a^2\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & a-1 & a-1\\0 & a-1 & a^2-1\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & a-1 & a-1\\0 & 0 & a^2-a\end{matrix}\right)\] Donde \(a^2-a=a(a-1)\).

Casos

  • Si \(a=1\): fila 2 y fila 3 se anulan → \(\text{rg}(A)=1\)
  • Si \(a=0\): fila 2 \(=(0,-1,-1)\neq\mathbf{0}\), fila 3 \(=\mathbf{0}\) → \(\text{rg}(A)=2\)
  • Si \(a\neq 0\) y \(a\neq 1\): tres pivotes → \(\text{rg}(A)=3\)
rg = 1 si a=1 · rg = 2 si a=0 · rg = 3 si a≠0,1
Ej. 2Parámetro kNivel básico · dos casos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(k\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & k\\0 & k & 1\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento (intercambio previo de F2 y F3)

\[\underset{F_2\leftrightarrow F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & k\\0 & 1 & 1\\0 & k & 1\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-kF_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & k\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1-k\end{matrix}\right)\]

Casos

  • Si \(k=1\): fila 3 se anula → \(\text{rg}(A)=2\)
  • Si \(k\neq 1\): tres pivotes → \(\text{rg}(A)=3\)
rg = 2 si k=1 · rg = 3 si k≠1
Ej. 3Parámetro aNivel medio · tres valores críticos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(a\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & a & 0\\a & 1 & 0\\0 & 0 & a\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{F_2\to F_2-aF_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & a & 0\\0 & 1-a^2 & 0\\0 & 0 & a\end{matrix}\right)\] Donde \(1-a^2=(1-a)(1+a)\).

Casos

  • Si \(a=0\): fila 2 \(=(0,1,0)\neq\mathbf{0}\), fila 3 \(=\mathbf{0}\) → \(\text{rg}(A)=2\)
  • Si \(a=1\): fila 2 \(=\mathbf{0}\), fila 3 \(=(0,0,1)\neq\mathbf{0}\) → \(\text{rg}(A)=2\)
  • Si \(a=-1\): fila 2 \(=\mathbf{0}\), fila 3 \(=(0,0,-1)\neq\mathbf{0}\) → \(\text{rg}(A)=2\)
  • Si \(a\neq 0,1,-1\): tres pivotes → \(\text{rg}(A)=3\)
rg = 2 si a∈{0,1,−1} · rg = 3 si a∉{0,1,−1}
Ej. 4Parámetro mNivel medio · dos valores críticos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(m\): \[A=\left(\begin{matrix}2 & m & 0\\1 & 2 & 0\\0 & 0 & m-2\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento (intercambio previo de F₁ y F₂)

\[\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0\\2 & m & 0\\0 & 0 & m-2\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0\\0 & m-4 & 0\\0 & 0 & m-2\end{matrix}\right)\]

Pivotes con parámetro: \(m-4\) en la fila 2 y \(m-2\) en la fila 3.

Casos

  • Si \(m=4\): fila 2 \(=\mathbf{0}\), fila 3 \(=(0,0,2)\neq\mathbf{0}\) \(\Rightarrow\) \(\text{rg}(A)=2\).
  • Si \(m=2\): fila 2 \(=(0,-2,0)\neq\mathbf{0}\), fila 3 \(=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow\) \(\text{rg}(A)=2\).
  • Si \(m\neq 2,4\): tres pivotes \(\Rightarrow\) \(\text{rg}(A)=3\).
rg = 2 si m∈{2,4} · rg = 3 si m∉{2,4}
Ej. 5Parámetro mNivel medio-alto · tres rangos posibles
Discute el rango de la matriz según los valores de \(m\): \[A=\left(\begin{matrix}m & 1 & 1\\1 & m & 1\\1 & 1 & m\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento (intercambio previo de F₁ y F₂)

\[\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\m & 1 & 1\\1 & 1 & m\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-mF_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\0 & 1-m^2 & 1-m\\0 & 1-m & m-1\end{matrix}\right)\] donde \(1-m^2=(1-m)(1+m)\). Para \(m\neq 1\) se puede dividir \(F_2\) y \(F_3\) por \((1-m)\neq 0\): \[\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\0 & 1+m & 1\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right)\underset{F_3\to(1+m)F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\0 & 1+m & 1\\0 & 0 & -(m+2)\end{matrix}\right)\]

Casos

  • Si \(m=1\): \(F_2=\mathbf{0}\) y \(F_3=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow\) \(\text{rg}(A)=1\).
  • Si \(m=-2\): \(F_2=(0,-1,1)\neq\mathbf{0}\) y \(F_3=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow\) \(\text{rg}(A)=2\).
  • Si \(m\neq 1,-2\): tres pivotes \(\Rightarrow\) \(\text{rg}(A)=3\).
rg = 1 si m=1 · rg = 2 si m=−2 · rg = 3 si m≠1,−2
Verificación para m=1: todas las filas de \(A\) son iguales a \((1,1,1)\), por lo que solo hay una fila linealmente independiente → \(\text{rg}(A)=1\). ✓

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz con parámetro, aplicar el método de Gauss y obtener la discusión del rango automáticamente.

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