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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON UN PARÁMETRO
Método de Gauss

Álgebra lineal · Bachillerato

Teoría, ejemplos resueltos y herramienta interactiva para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro mediante el método de eliminación de Gauss.

Sistemas sin parámetro Rango con parámetro Matriz escalonada

Definición

1. ¿Qué es un sistema con parámetro?

Un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro es un sistema en el que uno o varios coeficientes (o términos independientes) dependen de una variable simbólica, generalmente denominada \(a\), \(k\), \(m\)…, que puede tomar cualquier valor racional. Dado que el parámetro aparece en la matriz ampliada, la clasificación del sistema (compatible determinado, indeterminado o incompatible) puede variar según su valor.

Por eso, el objetivo no es simplemente resolver el sistema, sino discutirlo: determinar para qué valores del parámetro el sistema pertenece a cada tipo, y resolver en los casos en que tenga solución.

Un sistema con parámetro tiene la misma forma general que cualquier sistema lineal:

\[ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ &\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned}\right. \]

con la diferencia de que algunos \(a_{ij}\) o \(b_i\) son expresiones que pueden depender del parámetro.

Antes de empezar

Notas de uso

  • Introduce correctamente la matriz ampliada del sistema, respetando el orden de las incógnitas en cada ecuación.
  • Si hay fracciones, usa una notación consistente (a/b).
  • Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
  • El parámetro solo puede tomar valores enteros o racionales en la herramienta; para discusiones simbólicas completas trabaja a mano con el método explicado en esta página.

Clasificación

2. Tipos de sistemas según sus soluciones

Al igual que en cualquier sistema lineal, solo existen tres posibilidades. En un sistema con parámetro, cada valor del parámetro puede situar al sistema en un tipo diferente, por lo que la discusión exige estudiar todos los casos posibles.

Compatible determinado (SCD)Tiene exactamente una solución. El número de filas no nulas de la matriz escalonada coincide con el número de incógnitas.
Compatible indeterminado (SCI)Tiene infinitas soluciones. El número de filas no nulas de la matriz escalonada es menor que el de incógnitas.
Incompatible (SI)No tiene ninguna solución. Aparece una fila \((0\;\cdots\;0\mid b)\) con \(b\neq 0\) en la forma escalonada.

El algoritmo

3. Método de Gauss para sistemas con parámetro · paso a paso

  1. Escribir la matriz ampliada \((A\,|\,b)\).

    Se construye la matriz que recoge todos los coeficientes y los términos independientes. Si el parámetro aparece en los coeficientes, se opera con él como si fuera un número.

  2. Escalonar mediante operaciones elementales por filas.

    Se aplican las mismas operaciones que en un sistema sin parámetro: intercambio de filas (\(F_i \leftrightarrow F_j\)), multiplicación por escalar no nulo (\(F_i \to k\cdot F_i\)) y combinación lineal de filas (\(F_i \to \alpha F_i + \beta F_j\)). El objetivo es conseguir una forma escalonada en la que todos los elementos bajo los pivotes sean cero.

    Notas importantes:

    1. Si en algún momento conviene intercambiar columnas para facilitar el escalonamiento, es válido hacerlo, pero hay que registrar el cambio de orden de las incógnitas. Esta técnica se usa especialmente cuando el parámetro está en una posición que dificulta la obtención de la matriz escalonada. En ningún caso se puede cambiar de lugar la última columna de términos independientes.
    2. Si al utilizar el cambio de una fila por una combinación lineal de ella y de otras, el coeficiente de la combinación lineal correspondiente a la fila que se quiere cambiar depende del parámetro, se deben tener en cuenta los valores del parámetro que anulan ese coeficiente, e incluirlos en los casos especiales a estudiar por separado.
  3. Localizar los pivotes que dependen del parámetro.

    Una vez escalonada la matriz, se identifican las entradas de la diagonal de pivotes que son expresiones en el parámetro. Igualándolas a cero se obtienen los valores críticos del parámetro (los que cambian la estructura del sistema).

  4. Estudiar cada caso por separado.

    Para cada valor crítico que no se haya obtenido por la nota 2 del paso anterior, se sustituye el parámetro en la matriz escalonada y se clasifica el sistema resultante.

    Para los valores críticos obtenidos según la nota 2, se sustituye el valor en la matriz inicial y se calcula de nuevo su forma escalonada.

    Finalmente se estudia el caso general (cualquier valor distinto de todos los críticos).

  5. Resolver los casos compatibles.

    En los casos en que el sistema tenga solución, se aplica sustitución regresiva. Si hay infinitas soluciones, se expresan en función de \(n - r\) parámetros libres, donde \(n\) es el número de incógnitas y \(r\) el número de filas no nulas de la matriz escalonada.

Ejemplo 1 — Sistema 3×3 con parámetro a

4. Ejemplo resuelto completo

Dado el sistema:

\[ \left\{ \begin{aligned} 2x_{1}+ax_{2}-3x_{3}&=1 \\ -3x_{1}+2x_{2}+ax_{3}&=2 \\ -x_{1}+5x_{2}&=3 \end{aligned} \right. \]

Discútelo y resuélvelo en los casos en que sea posible según los valores del parámetro \(a\).

1) Se escribe la matriz ampliada y se aplican operaciones elementales por filas hasta obtener una forma escalonada:

\[ \begin{aligned} & \left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ -3 & 2 & a \\ -1 & 5 & 0 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right. \right)\underset{F_{2}=2F_{2}+3F_{1}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ 0 & 3a+4 & 2a-9 \\ -1 & 5 & 0 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 3 \\ \end{matrix} \right. \right)\underset{F_{3}=2F_{3}+F_{1}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ 0 & 3a+4 & 2a-9 \\ 0 & a+10 & -3 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 7 \\ \end{matrix} \right. \right) \\ & \underset{F_{2}\leftrightarrow F_{3}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ 0 & a+10 & -3 \\ 0 & 3a+4 & 2a-9 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 7 \\ \end{matrix} \right. \right)\underset{C_{2}\leftrightarrow C_{3}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & -3 & a \\ 0 & -3 & a+10 \\ 0 & 2a-9 & 3a+4 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 7 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \\ & \underset{F_{3}\to 3F_{3}+(2a-9)F_{2}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & -3 & a \\ 0 & -3 & a+10 \\ 0 & 0 & 2a^{2}+20a-78 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 14a-42 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \end{aligned} \]

2) Se anula el pivote que depende del parámetro para obtener los casos particulares:

\[2a^{2}+20a-78=0\Rightarrow a=3\qquad a=-13\]

3) Se estudian los casos particulares y el caso general.

Para \(a=3\)

\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 3 \\ 0 & -3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 0 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \]

El número de filas no nulas es 2 y el número de incógnitas es 3. El sistema es compatible indeterminado.

 

Sus infinitas soluciones son:

\[ \left\{ \begin{aligned} & x_{1}=5t-3 \\ & x_{2}=t \\ & x_{3}=-\frac{7}{3}+\frac{13}{3}t \end{aligned} \right. \]

Para \(a=-13\)

\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & -13 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -224 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \]

Al haber una fila formada por todos ceros excepto el último elemento que es diferente de cero, el sistema es incompatible.

 

No tiene solución.

Para \(a\neq 3\) y \(a\neq -13\) (caso general)

\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & a \\ 0 & -3 & a+10 \\ 0 & 0 & 2a^{2}+20a-78 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 14a-42 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \]

El número de filas no nulas es 3 y el número de incógnitas es 3. El sistema es compatible determinado.

 

Su única solución es:

\[\left[ x_{1}=\frac{-3a-4}{a+13},\qquad x_{2}=\frac{7}{a+13},\qquad x_{3}=\frac{-7}{a+13} \right]\]

Ejemplo 2 — Sistema 2×2 sencillo

5. Ejemplo adicional

Discute y resuelve según el valor de \(k\):

\[\left\{\begin{aligned}x+ky&=2\\kx+y&=2\end{aligned}\right.\]

Escalonamiento:

\[\left(\begin{matrix}1&k\\k&1\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-kF_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1&k\\0&1-k^2\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\2-2k\end{matrix}\right)\]

Donde \(1-k^2=(1-k)(1+k)\) y \(2-2k=2(1-k)\). Valores críticos: \(k=1\) y \(k=-1\).

Si \(k=1\): la fila 2 queda \((0,0\mid 0)\) → SCI.

Solución: \(x=\lambda,\;y=2-\lambda\quad(\lambda\in\mathbb{R})\).

Si \(k=-1\): la fila 2 queda \((0,0\mid 4)\) → SI: incompatible.

No tiene solución.

Si \(k\neq\pm 1\) (caso general): \(y=\dfrac{2(1-k)}{(1-k)(1+k)}=\dfrac{2}{1+k}\), \(\;x=\dfrac{2}{1+k}\) → SCD.

Errores típicos

6. Conviene vigilarlos

  • No separar todos los valores críticos. Es imprescindible igualar a cero todos los pivotes que dependan del parámetro, no solo el primero que aparezca.
  • Concluir que el sistema es incompatible sin verificar el término independiente. Una fila de la forma \((0\cdots 0\mid 0)\) indica que el sistema es compatible (ecuación redundante). Solo es incompatible si el término independiente es \(\neq 0\).
  • Olvidar que el orden de las incógnitas puede cambiar. Si se intercambian columnas, hay que reflejarlo explícitamente y respetar el nuevo orden en la solución.
  • Confundir el número de parámetros libres. Con \(n\) incógnitas y \(r\) filas no nulas con \(r < n\), el número de parámetros libres es \(n-r\), no siempre uno.
  • No dar nombre al parámetro libre al despejar. Cuando una incógnita es libre hay que asignarle un nombre (\(t\), \(\lambda\)…) y expresar las demás en función de él.
  • Dividir por expresiones que podrían ser cero. Antes de dividir por una expresión en el parámetro hay que verificar que no se anula, o tratar ese caso por separado.

Preguntas frecuentes

7. FAQ

  • ¿Puede haber más de dos valores críticos? Sí. Si el pivote que depende del parámetro es un polinomio de grado 2 o superior, puede tener varios valores críticos. Hay que hallar todas las raíces.
  • ¿Qué ocurre si el parámetro aparece solo en el término independiente? El escalonamiento transcurre igual que sin parámetro. La clasificación cambia solo cuando aparecen filas de la forma \((0\cdots 0\mid f(a))\) según si \(f(a)=0\) o \(f(a)\neq 0\).
  • ¿Hay otro método para resolver este tipo de ejercicio? Sí, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, que compara el rango de \(A\) y el rango de \((A\mid b)\).
  • ¿Cuándo conviene intercambiar columnas? Cuando el parámetro aparece en la posición del pivote y bloquea el escalonamiento. Al intercambiar, el pivote pasa a ser un número fijo, lo que facilita el cálculo.
  • ¿Hay que dar la solución en todos los casos compatibles? Sí. En Bachillerato se pide tanto la discusión como la resolución en los casos compatibles. No basta con clasificar.

Ejercicios propuestos

Discute la compatibilidad del sistema según el parámetro y, cuando tenga solución, exprésala.

Ej. 1Sistema 2×2 · parámetro aNivel básico · SCD / SCI / SI
Discute y resuelve según el valor de \(a\): \[\left\{\begin{aligned}x+ay&=2\\ax+y&=2\end{aligned}\right.\]

Matriz ampliada y escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-aF_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1&a\\0&1-a^2\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\2-2a\end{matrix}\right)\] Donde \(1-a^2=(1-a)(1+a)\) y \(2-2a=2(1-a)\).

Casos

  • Si \(a=1\): fila 2 → \((0,0\mid 0)\) → SCI: \(x+y=2\), solución \(x=\lambda,\;y=2-\lambda\;(\lambda\in\mathbb{R})\).
  • Si \(a=-1\): fila 2 → \((0,0\mid 4)\) → SI (incompatible).
  • Si \(a\neq\pm1\): \(y=\dfrac{2(1-a)}{(1-a)(1+a)}=\dfrac{2}{1+a}\), \(\;x=\dfrac{2}{1+a}\) → SCD.
SCD si a≠±1
SCI si a=1
SI si a=−1
Ej. 2Sistema 3×3 · parámetro kNivel medio · SCD / SI
Discute y resuelve según el valor de \(k\): \[\left\{\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+ky+z&=2\\x+y+kz&=1\end{aligned}\right.\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{matrix}\middle|\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&k-1&0\\0&0&k-1\end{matrix}\middle|\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right)\]

Casos

  • Si \(k=1\): fila 2 → \((0,0,0\mid 1)\) → SI.
  • Si \(k\neq 1\): \(z=0\), \(\;y=\dfrac{1}{k-1}\), \(\;x=1-y=\dfrac{k-2}{k-1}\) → SCD.
SCD si k≠1
SI si k=1
Ej. 3Sistema 3×3 · parámetro aNivel medio · SCD / SCI
Discute y resuelve según el valor de \(a\): \[\left\{\begin{aligned}x+y+z&=2\\x+2y+az&=3\\x+y+(a-1)z&=a\end{aligned}\right.\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&a-1\\0&0&a-2\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\1\\a-2\end{matrix}\right)\]

Casos

  • Si \(a=2\): fila 3 → \((0,0,0\mid 0)\) → SCI. Con \(z=\lambda\): \(y=1-(a-1)\lambda=1-\lambda\), \(x=2-y-z=1\).
    Solución: \(x=1,\;y=1-\lambda,\;z=\lambda\quad(\lambda\in\mathbb{R})\).
  • Si \(a\neq 2\): \(z=\dfrac{a-2}{a-2}=1\), \(\;y=2-a\), \(\;x=a-1\) → SCD.
SCD si a≠2 · x=a−1, y=2−a, z=1
SCI si a=2 · x=1, y=1−λ, z=λ

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propio sistema con parámetro, seguir el escalonamiento paso a paso y obtener la discusión y, en su caso, la solución.

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