Estudia sistemas de ecuaciones lineales que dependen de un parámetro y determina, según su valor, si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Idea clave
Cuando un sistema depende de un parámetro, el tipo de solución puede cambiar según su valor. Por eso no basta con resolver una sola vez: hay que escalonar la matriz, localizar los pivotes que dependen del parámetro y separar los casos particulares del caso general.
La herramienta automatiza ese proceso y te ayuda a ver cuándo el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.
Notas
Cómo se usa
Errores típicos
Ejemplo completo
Dado el sistema:
\[ \left\{ \begin{matrix} 2x_{1}+ax_{2}-3x_{3}=1 \\ -3x_{1}+2x_{2}+ax_{3}=2 \\ -x_{1}+5x_{2}=3 \\ \end{matrix} \right. \]Estúdialo y resuélvelo en los casos en que sea posible según los valores del parámetro \(a\).
1) Se escribe la matriz de Gauss y se aplican las transformaciones adecuadas hasta convertirla en una matriz escalonada equivalente:
\[ \begin{aligned} & \left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ -3 & 2 & a \\ -1 & 5 & 0 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right. \right)\underset{F_{2}=2F_{2}+3F_{1}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ 0 & 3a+4 & 2a-9 \\ -1 & 5 & 0 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 3 \\ \end{matrix} \right. \right)\underset{F_{3}=2F_{3}+F_{1}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ 0 & 3a+4 & 2a-9 \\ 0 & a+10 & -3 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 7 \\ \end{matrix} \right. \right) \\ & \underset{F_{2}\leftrightarrow F_{3}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & a & -3 \\ 0 & a+10 & -3 \\ 0 & 3a+4 & 2a-9 \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 7 \\ \end{matrix} \right. \right)\underset{C_{2}\leftrightarrow C_{3}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & -3 & a \\ 0 & -3 & a+10 \\ 0 & 2a-9 & 3a+4 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 7 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \\ & \underset{F_{3}\to 3F_{3}+(2a-9)F_{2}}{\sim}\,\left( \begin{matrix} 2 & -3 & a \\ 0 & -3 & a+10 \\ 0 & 0 & 2a^{2}+20a-78 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 14a-42 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \end{aligned} \]2) Se anulan los pivotes que dependen del parámetro para obtener los casos particulares que se han de estudiar:
\[ 2a^{2}+20a-78=0\Rightarrow a=3\qquad a=-13 \]3) Se estudian los casos particulares y el caso general.
Para \(a=3\)
\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 3 \\ 0 & -3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 0 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \]El número de filas no nulas es 2 y el número de incógnitas es 3. El sistema es compatible indeterminado y sus infinitas soluciones son:
\[ \left\{ \begin{aligned} & x_{1}=5t-3 \\ & x_{2}=t \\ & x_{3}=-\frac{7}{3}+\frac{13}{3}t \end{aligned} \right. \]Para \(a=-13\)
\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & -13 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -224 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \]Al haber una fila formada por todos los elementos ceros excepto el último que es diferente de cero, el sistema es incompatible (no tiene solución).
Para \(a\neq 3\) y \(a\neq -13\) (caso general)
\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & a \\ 0 & -3 & a+10 \\ 0 & 0 & 2a^{2}+20a-78 \\ x_{1} & x_{3} & x_{2} \\ \end{matrix}\,\,\left| \,\,\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 14a-42 \\ {} \\ \end{matrix} \right. \right) \]El número de filas no nulas es 3 y el número de incógnitas es 3. El sistema es compatible determinado y su única solución es:
\[ \left[ x_{1}=\frac{-3a-4}{a+13},\qquad x_{2}=\frac{7}{a+13},\qquad x_{3}=\frac{-7}{a+13} \right] \]