El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que puede extraerse de ella, es decir, el tamaño de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante no es cero. En términos equivalentes, coincide con el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.
Cuando la matriz contiene un parámetro, el valor de ese rango puede variar dependiendo del valor que adopte. Algunos valores del parámetro pueden hacer que filas que en general son independientes se vuelvan proporcionales o combinaciones lineales entre sí, reduciendo el rango. El objetivo es identificar exactamente para qué valores ocurre esto y cuál es el rango en cada caso.
El método de los menores proporciona un procedimiento sistemático. En general, se localizan los menores de orden máximo que se pueden formar y se anulan para obtener los posibles valores críticos que dan lugar a casos especiales. A continuación, se estudia cada uno de estos casos por separado y el caso general.
Rango de una matriz numérica
Si la matriz no contiene parámetros, el rango es un valor fijo que puede determinarse buscando el mayor menor no nulo.
Rango de una matriz con parámetro
Si hay un parámetro, el rango puede variar según su valor. Se identifican los valores críticos y se estudia el rango en cada caso.
Propiedades del rango
Para una matriz de orden \(m\times n\), se cumple siempre \(0\leq\operatorname{rg}(A)\leq\min(m,n)\).
Si existe un menor de orden \(k\) no nulo, entonces \(\operatorname{rg}(A)\geq k\).
Si todos los menores de orden \(k+1\) son nulos, entonces \(\operatorname{rg}(A)\leq k\).
El rango no cambia al aplicar operaciones elementales de fila o de columna.
El rango de una matriz y el de su traspuesta coinciden: \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^t)\).
Si la matriz tiene una fila o columna completamente nula, el rango es inferior al número de filas o columnas.
Si la matriz es cuadrada de orden \(n\), tiene rango \(n\) si y solo si su determinante es distinto de cero.
Teoría
El método de los menores
¿Qué es un menor de orden \(k\)?
Un menor de orden \(k\) de una matriz \(A\) es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden \(k\) obtenida eligiendo \(k\) filas y \(k\) columnas de \(A\). El menor es no nulo si su valor es distinto de cero. \(M_{i_1\ldots i_k}^{j_1\ldots j_k}=\left|\begin{matrix}a_{i_1 j_1}&\cdots&a_{i_1 j_k}\\\vdots&&\vdots\\a_{i_k j_1}&\cdots&a_{i_k j_k}\end{matrix}\right|\)
El máximo orden en el que existe al menos un menor no nulo define exactamente el rango de la matriz.
Criterio del rango por menores.
El rango de la matriz \(A\) es \(r\) si y solo si se cumplen simultáneamente: 1) Existe al menos un menor de orden \(r\) no nulo.2) Todos los menores de orden \(r+1\) son nulos (o bien \(r=\min(m,n)\)).
En la práctica no hace falta comprobar todos los menores de orden \(r+1\): basta con verificar que todos los menores obtenidos ampliando el menor de orden \(r\) ya encontrado son nulos.
Procedimiento para matrices con parámetro. 1) Rango máximo del caso general. Se buscan los menores de orden máximo y se anulan. Así se obtienen los valores críticos. El caso general será el del resto de valores que no son críticos; para ellos, el rango será el máximo posible.2) Estudio por casos críticos. Se debe estudiar cada caso por separado, sustituyendo el valor en el parámetro y utilizando el método general de los menores para matrices numéricas.3) Resumen. Se hace un resumen de todos los casos incluyendo el general.
Ejemplos rápidos
Ejemplo 1: Matriz 2×3 (caso numérico)
Sea \(A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\end{matrix}\right)\). El orden máximo posible es 2. Se calculan los tres menores de orden 2.
Todos los menores de orden máximo son nulos, así que el rango no alcanza 2. Se baja al orden 1: \(a_{11}=1\neq 0\).
\(\operatorname{rg}(A)=1\)
Ejemplo 2: Matriz 3×4 con parámetro \(t\)
Sea \(A=\left(\begin{matrix}t & 1 & 0 & t-1\\2 & 1 & 1 & 2\\0 & 3 & t & 2\end{matrix}\right)\). El orden máximo es 3. Se calculan menores de ese orden y se igualan a cero.
\[\begin{aligned}
&1)\ \text{Menores de orden máximo (3):}\\[4pt]
&\left|\begin{matrix}t&1&0\\2&1&1\\0&3&t\end{matrix}\right|=t^2-5t\qquad\left|\begin{matrix}1&0&t-1\\1&1&2\\3&t&2\end{matrix}\right|=t^2-6t+5\\[6pt]
&2)\ \text{Valores críticos (anulan todos los menores de orden 3 a la vez):}\\[4pt]
&t^2-5t=0\Rightarrow t=0\text{ ó }t=5;\quad t^2-6t+5=0\Rightarrow t=1\text{ ó }t=5\\[4pt]
&\text{Solo }t=5\text{ aparece en ambos. Se puede verificar que los demás menores de orden 3 también son nulos para }t=5.\\[4pt]
&\Rightarrow\text{Caso general: }t\neq 5.\\[6pt]
&3)\ \text{Caso crítico }t=5\text{: se sustituye y se aplica el método numérico.}\\[4pt]
&A=\left(\begin{matrix}5&1&0&4\\2&1&1&2\\0&3&5&2\end{matrix}\right)\Rightarrow\left|\begin{matrix}1&0\\1&1\end{matrix}\right|=1\neq 0,\text{ todos los menores de orden 3 son nulos.}\Rightarrow\operatorname{rg}(A)=2\\[6pt]
&4)\ \text{Resumen: caso general }(t\neq 5)\Rightarrow\operatorname{rg}(A)=3;\quad\text{caso crítico }(t=5)\Rightarrow\operatorname{rg}(A)=2.
\end{aligned}\]
Si \(t\neq 5\), rg(\(A\))=3Si \(t=5\), rg(\(A\))=2
Ejemplo 3: Matriz 2×2 con parámetro \(a\)
Sea \(B=\left(\begin{matrix}a & 2a\\3 & 6\end{matrix}\right)\). El orden máximo es 2. Se calcula el único menor de ese orden.
\[\begin{aligned}
&1)\ \left|\begin{matrix}a&2a\\3&6\end{matrix}\right|=6a-6a=0\quad\text{para todo valor de }a.\\[6pt]
&\text{El menor de orden máximo es siempre nulo: no hay caso general con rango 2.}\\[6pt]
&2)\ \text{No hay valores críticos separados: todos los valores de }a\text{ son equivalentes.}\\[4pt]
&\text{Se aplica el método numérico directamente: }a_{21}=3\neq 0\Rightarrow\operatorname{rg}(B)\geq 1.\\[6pt]
&3)\ \text{Resumen: }\operatorname{rg}(B)=1\text{ para todo valor de }a.
\end{aligned}\]
\(\operatorname{rg}(B)=1\) para todo \(a\)
Cómo se usa la aplicación
Introduce las dimensiones de la matriz y valida cada campo con ENTER o TAB.
Rellena los elementos. Si hay un parámetro, usa siempre la misma letra en todas las celdas que lo contengan.
Elige el modo de trabajo: resolución manual (el usuario selecciona los menores) o solución automática (la herramienta muestra la discusión completa).
Modo manual: selecciona las filas y columnas del menor que quieras calcular. La herramienta lo evalúa y te indica si es nulo o no nulo.
Modo automático: la aplicación muestra todos los casos posibles del rango, con los valores críticos del parámetro y el razonamiento completo. Es útil para verificar un resultado o estudiar el proceso.
Opciones disponibles en la aplicación
Opción 1 — Resolución manual: el usuario selecciona los menores y construye la discusión del rango por casos.
Opción 2 — Solución automática: la aplicación genera la discusión completa con todos los valores críticos del parámetro.
Formatos admitidos
En los elementos de la matriz se admiten:
Números enteros y decimales.
Fracciones del tipo a/b, por ejemplo 3/2.
Expresiones con el parámetro: t+1, 2t-3, t^2.
Escribe siempre el parámetro con la misma letra en toda la matriz para que la aplicación lo reconozca correctamente.
Estructura de la página de trabajo
Introducción de datos
En esta zona se fijan las dimensiones de la matriz y se introducen sus elementos.
Espacio de operaciones
Los menores calculados por el usuario y su resultado.
La discusión por casos del rango con los valores críticos del parámetro.
En modo automático, la solución completa razonada.
Ejercicios propuestos
Discute el rango según el parámetro usando el método de los menores. Busca primero un menor no nulo de orden bajo y estudia cuándo se anulan los menores de orden superior.
Ej. 1Parámetro tNivel medio · tres valores críticos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(t\):
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & t\\0 & t & 1\\t & 0 & 1\end{matrix}\right)\]
Determinante de orden 3
Desarrollando por la primera columna:
\[|A|=1\cdot(t\cdot1-1\cdot0)-0+t\cdot(0\cdot1-t\cdot t)=t-t^3=t(1-t^2)=t(1-t)(1+t)\]
\(|A|=0\) cuando \(t=0\), \(t=1\) o \(t=-1\).
Menores de orden 2 en los casos críticos
Si \(t=0\): la matriz queda \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\). Las filas 2 y 3 son iguales. El menor \(\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0\) → \(\operatorname{rg}(A)=2\).
Si \(t=1\): la matriz queda \(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\). Las filas 1 y 3 son iguales. El menor \(\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0\) → \(\operatorname{rg}(A)=2\).
Si \(t=-1\): la matriz queda \(\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}\). Fila 1 + fila 3 = \(\mathbf{0}\). El menor \(\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1\neq 0\) → \(\operatorname{rg}(A)=2\).
\(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(t\in\{0,1,-1\}\) · \(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(t\notin\{0,1,-1\}\)
Ej. 2Parámetro tNivel medio · dos valores críticos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(t\):
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & t\\2 & 1 & 1\\t & 2 & 1\end{matrix}\right)\]
Determinante de orden 3
\[|A|=1(1-2)-2(2-t)+t(4-t)=-1-4+2t+4t-t^2=-t^2+6t-5=-(t-1)(t-5)\]
\(|A|=0\) cuando \(t=1\) o \(t=5\).
Rango en los casos críticos
Para \(t=1\) y para \(t=5\), el menor \(\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=1-4=-3\neq 0\), así que \(\operatorname{rg}(A)\geq 2\). Como el determinante es nulo, \(\operatorname{rg}(A)<3\). Por tanto \(\operatorname{rg}(A)=2\).
\(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(t\neq 1,5\) · \(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(t=1\) o \(t=5\)
Ej. 3Parámetro kNivel básico · matriz triangular
Discute el rango de la matriz según los valores de \(k\):
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\0 & k & 1\\0 & 0 & k-2\end{matrix}\right)\]
La matriz es triangular superior
Su determinante es el producto de los elementos de la diagonal:
\[|A|=1\cdot k\cdot(k-2)=k(k-2)\]
\(|A|=0\) cuando \(k=0\) o \(k=2\).
Casos
Si \(k=0\): fila 2 \(=(0,0,1)\neq\mathbf{0}\) y el menor \(\begin{vmatrix}2&3\\0&1\end{vmatrix}=2\neq 0\) → \(\operatorname{rg}=2\).
Si \(k=2\): fila 3 \(=(0,0,0)\), fila 2 \(=(0,2,1)\neq\mathbf{0}\) → \(\operatorname{rg}=2\).
Si \(k\neq 0,2\): \(|A|\neq 0\) → \(\operatorname{rg}=3\).
\(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(k\neq 0,2\) · \(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(k=0\) o \(k=2\)
Atajo: En matrices triangulares, el determinante es el producto de la diagonal. Si algún elemento diagonal se anula, el determinante es cero.
Ej. 4Parámetro aNivel medio · matriz 2×4
Discute el rango de la matriz según los valores de \(a\):
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & a\\3 & a & 1 & 0\end{matrix}\right)\]
Rango máximo posible
La matriz es \(2\times 4\), así que \(\operatorname{rg}(A)\leq 2\).
Menor de orden 2
Columnas 1 y 3: \(\begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix}=1\neq 0\) para todo valor de \(a\). Por tanto \(\operatorname{rg}(A)\geq 2\) siempre.
\(\operatorname{rg}(A)=2\) para todo valor de \(a\)
Observación: Cuando el rango mínimo garantizado ya coincide con el máximo posible (\(\min(m,n)\)), no hace falta buscar más menores. La discusión se reduce a un único caso.
Ej. 5Parámetro mNivel alto · matriz 4×3
Discute el rango de la matriz según los valores de \(m\):
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & m & 1\\m & 1 & 1\\1 & 1 & m\end{matrix}\right)\]
Rango máximo posible
La matriz es \(4\times 3\), así que \(\operatorname{rg}(A)\leq 3\).
Menor de orden 2
El menor formado por las filas 1 y 2, columnas 1 y 2: \(\begin{vmatrix}1&1\\1&m\end{vmatrix}=m-1\). Es no nulo cuando \(m\neq 1\), así que para \(m\neq 1\) el rango es al menos 2.
Menores de orden 3 (filas 1, 2, 3)
\[\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\m&1&1\end{vmatrix}=m-m^2-1-1+1+m=2m-m^2-1=-(m-1)^2\]
Este menor es nulo exactamente cuando \(m=1\).
Otro menor de orden 3 (filas 1, 2, 4)
\[\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{vmatrix}=m^2+1+1-m-1-m=m^2-2m+1=(m-1)^2\]
También nulo cuando \(m=1\).
Caso m=1
Para \(m=1\) todas las filas son \((1,1,1)\) → \(\operatorname{rg}(A)=1\).
Caso m≠1
Los menores de orden 3 calculados valen \(-(m-1)^2\) y \((m-1)^2\), ambos distintos de cero para \(m\neq 1\). Basta con encontrar uno no nulo para garantizar \(\operatorname{rg}(A)\geq 3\). Como el máximo posible en una matriz \(4\times 3\) es 3, concluimos \(\operatorname{rg}(A)=3\).
\(\operatorname{rg}(A)=1\) si \(m=1\) · \(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(m\neq 1\)
Errores típicos
Elegir como menor inicial uno que sea nulo y sacar conclusiones a partir de él.
No verificar que el menor de partida es independiente del parámetro (o que no se anula para ningún valor).
Ampliar el menor con filas y columnas distintas en cada paso, cambiando la base del estudio a mitad del proceso.
Olvidar estudiar si hay valores del parámetro que anulan todos los menores ampliados a la vez.
Concluir que el rango es menor del que corresponde cuando existe al menos un menor ampliado no nulo.
Confundir "anular un menor" con "anular el parámetro": que el parámetro valga cero no siempre implica que el rango baje.
No calcular el rango exacto en los casos críticos: hay que buscar el mayor menor no nulo también para esos valores.
Olvidar validar los datos con ENTER o TAB antes de operar.
Preguntas frecuentes
¿Siempre hay que calcular todos los menores de orden máximo? No. Basta con ampliar el menor no nulo ya encontrado con distintas combinaciones de filas y columnas, hasta comprobar que todos esos menores son nulos (o encontrar uno que no lo sea).
¿Qué pasa si no encuentro ningún menor no nulo de ningún orden? Solo ocurre si la matriz es nula (todos sus elementos son cero). En ese caso \(\operatorname{rg}(A)=0\).
¿Puede haber más de dos casos? Sí. Puede haber varios valores críticos, cada uno con un rango diferente. Los casos están determinados por los valores del parámetro que anulan simultáneamente todos los menores de orden superior.
¿Qué diferencia hay entre el método de los menores y el de Gauss? Con Gauss se aplican operaciones elementales para escalonar la matriz y contar pivotes. Con menores se trabajan directamente determinantes de submatrices. Ambos métodos dan el mismo resultado.
¿El rango puede ser cero para algún valor del parámetro? Solo si la matriz entera es nula para ese valor. Si algún elemento es una constante distinta de cero, el rango será al menos 1 para todo valor del parámetro.
¿Pueden existir infinitos valores críticos? No, en general. Los valores críticos son raíces de polinomios en el parámetro, así que su número es finito y está acotado por el grado del polinomio.
¿Qué significa que el rango sea máximo? Que el rango coincide con \(\min(m,n)\), es decir, con la menor dimensión de la matriz. En ese caso todas las filas (o columnas) son linealmente independientes.
¿Es posible que el rango suba para algún valor crítico? No. Los valores críticos son aquellos para los que el rango baja respecto al caso general. Para el resto de valores el rango es el máximo posible dado por los menores de orden superior.
¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz con parámetro y obtener la discusión del rango mediante menores de forma manual o automática.