Idea clave
¿Qué se hace exactamente?
Cuando una matriz contiene un parámetro, su rango puede variar según el valor que tome dicho parámetro. Por eso no basta con encontrar un menor no nulo sin más: después hay que ampliar ese menor y estudiar para qué valores del parámetro los menores de orden superior se anulan.
El procedimiento consiste en buscar un menor no nulo de orden pequeño. Eso garantiza que el rango es al menos dicho orden. A continuación se amplía con filas y columnas adicionales para formar menores de orden superior. Después se determinan los valores del parámetro que hacen nulos esos menores y, a partir de ahí, se separa el estudio en casos.
En resumen: primero se garantiza un rango mínimo, después se analizan los menores de orden máximo que pueden aparecer y finalmente se decide el rango en cada caso particular y en el caso general.
Notas
Antes de empezar
- Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
- Escribe siempre el parámetro con la misma letra en toda la matriz.
- Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).
Método de los menores
Pasos fundamentales
Paso 1Se busca un menor no nulo de orden pequeño. Eso garantiza que el rango es al menos dicho orden.
Paso 2Se amplía ese menor para formar menores de orden superior, normalmente de orden máximo posible.
Paso 3Se estudian los valores del parámetro que anulan simultáneamente esos menores. Con ello se obtienen los casos particulares y el caso general.
Cómo se usa
Paso a paso en la página
- Introduce las dimensiones de la matriz. Rellena los elementos y valida con ENTER o TAB.
- Busca primero un menor de orden 2 que sea no nulo.
- Amplía ese menor con nuevas filas y columnas para obtener menores de orden superior.
- Observa qué valores del parámetro anulan todos los menores ampliados que estás usando.
- También puedes utilizar Solución automática para obtener la resolución completa con los casos intermedios.
Errores típicos
Conviene vigilarlos
- Elegir un menor inicial nulo y sacar conclusiones a partir de él.
- Ampliar el menor cambiando la base del estudio en mitad del proceso.
- Olvidar estudiar los valores del parámetro que anulan a la vez los menores de orden superior.
- Concluir un rango incorrecto cuando existe al menos un menor ampliado no nulo.
Ejemplo rápido
Aplicación del método
\[
\begin{aligned}
&\text{Dada la matriz }A=\left( \begin{matrix}
t & 1 & 0 & t-1 \\
2 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & t & 2 \\
\end{matrix} \right)\text{, estudia su rango según los valores del parámetro }t \\
&1)\ \text{Se observa que el menor }\left| \begin{matrix}
1 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{matrix} \right|=1\ne 0.\ \text{Por lo tanto, el rango siempre es superior o igual a 2.} \\
&2)\ \text{Se obtienen los menores de orden máximo }(3)\text{ que se pueden formar ampliando el menor de orden 2 anterior:} \\
&\left| \begin{matrix}
t & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
0 & 3 & t \\
\end{matrix} \right|=t^2-5t \qquad \left| \begin{matrix}
1 & 0 & t-1 \\
1 & 1 & 2 \\
3 & t & 2 \\
\end{matrix} \right|=2+t^2-t-3t+3-2t=t^2-6t+5 \\
&3)\ \text{Se obtienen los valores de }t\text{ que anulan estos menores:} \\
&t^2-5t=0\Rightarrow t=0,\ t=5 \qquad t^2-6t+5=0\Rightarrow t=1,\ t=5 \\
&\text{El único valor de }t\text{ que anula los dos menores a la vez es }t=5.\ \text{Por tanto, se deben estudiar los casos }t=5\text{ y }t\ne 5. \\
&4)\ \text{Para }t=5\text{, los dos menores de orden 3 son nulos y, por tanto, el orden del mayor menor no nulo es 2. }\operatorname{rg}(A)=2 \\
&5)\ \text{Para }t\ne 5\text{, hay por lo menos un menor de orden 3 no nulo y, por tanto, }\operatorname{rg}(A)=3
\end{aligned}
\]
En este ejemplo, el rango baja a 2 únicamente cuando \(t=5\). En el resto de los casos existe al menos un menor de orden 3 no nulo, así que el rango es 3.
Si t=5, rg(A)=2Si t≠5, rg(A)=3