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Rango de una matriz por menores

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Calcula el rango de una matriz usando el método de los menores. El rango de una matriz es el orden del mayor menor diferente de cero de dicha matriz.

Menores de orden 2Ampliación de menoresMayor menor no nulo

Idea clave

¿Cómo funciona el método?

Para calcular el rango mediante el método de los menores se obtienen primero todos los menores de orden 2 y se elige uno de ellos cuyo valor sea no nulo. A partir de ese menor se intenta ampliar con una fila y una columna más, de todas las formas posibles, hasta encontrar un menor de orden superior que también sea no nulo.

Cuando ya no se puede ampliar o no existe ningún menor ampliado no nulo, el proceso termina. Entonces el rango de la matriz coincide con el orden del mayor menor no nulo encontrado.

Este procedimiento es conocido como método de los menores y es uno de los más utilizados para calcular el rango de una matriz.

Notas

Antes de empezar

  • Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
  • Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).

Método de los menores

Pasos fundamentales

Paso 1Se obtienen todos los menores de orden 2. Se elige uno de ellos cuyo valor sea no nulo. Si no existe ninguno, el rango de la matriz es 1, salvo que se trate de la matriz nula, en cuyo caso el rango es 0.
Paso 2Se amplía el menor elegido con una fila y una columna más, de todas las formas posibles, hasta encontrar un menor de orden 3 no nulo. Si no hay posibilidad de ampliar o no existe ningún menor no nulo, el rango es 2.
Paso 3Se realiza de la misma forma el paso 2 hasta que o bien ya no se puede ampliar o bien no existe ningún menor ampliado no nulo. De esta forma se obtiene la solución final.

Cómo se usa

Paso a paso en la página

  1. Introduce las dimensiones de la matriz. Rellena los elementos y valida con ENTER o TAB.
  2. Si introduces fracciones, mantén una notación consistente \((a/b)\).
  3. Elige los pasos en el orden adecuado.
  4. También puedes utilizar Solución automática (aunque no es recomendable) para obtener la solución del ejercicio incluyendo los pasos intermedios realizados.

Errores típicos

Conviene vigilarlos

  • Confundir rango con determinante (el determinante es solo para matrices cuadradas).
  • Formar menores de forma que los elementos en la matriz no formen una rejilla rectangular.
  • Intentar buscar un menor no nulo si todos los menores de un orden inferior son nulos.
  • Ampliar un menor tomando como base un menor diferente del elegido en el paso anterior.

Ejemplo rápido

Aplicación del método

\[ A=\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -4 & 0 \\ 3 & -1 & -2 & 2 \end{matrix} \right) \] \[ \begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -4 & 0 \\ 3 & -1 & -2 & 2 \end{matrix} \right) \\ &\text{Menor de orden 2 no nulo elegido: }\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right|=4+3=7\ne 0 \\ &\text{Menor ampliado de orden 3 (se amplía con la fila 3 y la columna 3): }\left| \begin{matrix} 2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \\ 3 & -1 & -2 \end{matrix} \right|=-8-2+36-12-8-6=0\quad \text{No vale} \\ &\text{Menor ampliado de orden 3 (se amplía con la fila 3 y la columna 4): }\left| \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right|=8-1-6+6=7\ne 0 \\ &\text{Como no se puede seguir ampliando a orden 4, el rango es 3. }\operatorname{rg}(A)=3 \end{aligned} \]

El mayor menor no nulo encontrado es de orden 3, por tanto el rango de la matriz es 3.

rg(A)=3