El método de los menores calcula el rango buscando el mayor menor de la matriz no nulo. Se empieza por menores de orden 2 y se va ampliando hasta que no es posible encontrar uno mayor distinto de cero.
El rango de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es el mayor número de filas (o columnas) linealmente independientes que contiene. Se denota \(\text{rg}(A)\) o \(\text{rang}(A)\), y cumple siempre:
\[0\;\leq\;\text{rg}(A)\;\leq\;\min(m,n)\]
Dos o más filas son linealmente dependientes cuando una puede expresarse como combinación lineal de las demás. El rango puede calcularse de varias formas equivalentes; el método de los menores lo determina buscando el mayor menor no nulo, sin necesidad de transformar la matriz.
Idea fundamental. El rango de \(A\) es exactamente el orden \(r\) del mayor menor no nulo: existe al menos una submatriz cuadrada de orden \(r\) con determinante distinto de cero, y todos los menores de orden \(r+1\) son nulos (o no existen por dimensión).
El rango puede calcularse también mediante la eliminación de Gauss. Ambos métodos producen siempre el mismo resultado.
Propiedades
Propiedades del rango
1. Cota superior.
Para toda matriz \(A_{m\times n}\): \(\text{rg}(A)\leq\min(m,n)\)
El rango nunca puede superar ni el número de filas ni el de columnas.
2. Rango por filas = rango por columnas. \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)\)
El número de filas independientes coincide con el de columnas independientes. En el método de los menores, se pueden elegir filas o columnas indistintamente.
Casos especiales
Valores extremos del rango
Rango 0.
Solo la matriz nula tiene rango 0. Cualquier otra matriz tiene rango al menos 1.
Rango máximo.
Una matriz \(m\times n\) tiene rango máximo cuando \(\text{rg}(A)=\min(m,n)\). Hay al menos un menor del mayor orden posible que es no nulo.
Matriz cuadrada \(n\times n\). \(\text{rg}(A)=n\;\Longleftrightarrow\;\det(A)\neq 0\)
Si el determinante es distinto de cero, el rango es máximo. Si es cero, hay que buscar el mayor menor no nulo de orden menor.
Matriz identidad.
La matriz identidad \(I_n\) siempre tiene rango \(n\).
Concepto clave
¿Qué es un menor de una matriz?
Un menor de orden \(r\) de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden \(r\) obtenida eligiendo \(r\) filas y \(r\) columnas de \(A\).
Cómo se formaSe eligen \(r\) filas \(i_1<i_2<\cdots<i_r\) y \(r\) columnas \(j_1<j_2<\cdots<j_r\). Los elementos en las intersecciones forman la submatriz cuadrada cuyo determinante es el menor.
EjemploSi \(A\) es \(3\times 4\), un menor de orden 2 tomando filas 1,2 y columnas 2,3 es \(\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\).
Teorema del rango\(\text{rg}(A)=r\) si y solo si existe al menos un menor de orden \(r\) no nulo y todos los menores de orden \(r+1\) son nulos (o \(r=\min(m,n)\)).
Consecuencia práctica. Para calcular el rango no hace falta comprobar todos los menores de todos los órdenes. Basta con: 1) Encontrar un menor de orden 2 no nulo. Si no existe ninguno: comprobar si hay algún elemento distinto de cero (rango = 1) o si la matriz es completamente nula (rango = 0).2) Intentar ampliar ese menor de orden 2 a orden 3 añadiendo una fila y una columna más.3) Continuar ampliando hasta que no se pueda o todos los intentos den 0.
Conexión con otros contenidos
Rango, determinante e invertibilidad
Rango y determinanteSi \(A\) es cuadrada \(n\times n\): \(\text{rg}(A)=n\Leftrightarrow\det(A)\neq 0\). Si el rango es menor que \(n\), el determinante vale 0 y la matriz es singular.
Rango e invertibilidadUna matriz cuadrada \(A\) es invertible si y solo si \(\text{rg}(A)=n\). El método de los menores permite comprobarlo: basta calcular el determinante de la matriz completa.
Rango y sistemas linealesEl teorema de Rouché-Fröbenius determina la compatibilidad de \(Ax=b\) comparando \(\text{rg}(A)\) con \(\text{rg}(A|b)\) y con el número de incógnitas.
Idea clave
¿Cómo funciona el método?
Para calcular el rango mediante el método de los menores se obtienen primero todos los menores de orden 2 y se elige uno de ellos cuyo valor sea no nulo. A partir de ese menor se intenta ampliar con una fila y una columna más, de todas las formas posibles, hasta encontrar un menor de orden superior que también sea no nulo.
Cuando ya no se puede ampliar o no existe ningún menor ampliado no nulo, el proceso termina. Entonces el rango de la matriz coincide con el orden del mayor menor no nulo encontrado.
Este procedimiento es conocido como método de los menores y es uno de los más utilizados para calcular el rango de una matriz.
Notas
Antes de empezar
Valida cada celda con ENTER o TAB para evitar valores sin registrar.
Si introduces fracciones, mantén una notación consistente (a/b).
Método de los menores
Pasos fundamentales
Paso 1Se obtienen todos los menores de orden 2. Se elige uno de ellos cuyo valor sea no nulo. Si no existe ninguno, el rango de la matriz es 1, salvo que se trate de la matriz nula, en cuyo caso el rango es 0.
Paso 2Se amplía el menor elegido con una fila y una columna más, de todas las formas posibles, hasta encontrar un menor de orden 3 no nulo. Si no hay posibilidad de ampliar o no existe ningún menor no nulo, el rango es 2.
Paso 3Se realiza de la misma forma el paso 2 hasta que o bien ya no se puede ampliar o bien no existe ningún menor ampliado no nulo. El rango coincide con el orden del último menor no nulo encontrado.
Cómo se usa
Paso a paso en la página
Introduce las dimensiones de la matriz. Rellena los elementos y valida con ENTER o TAB.
Si introduces fracciones, mantén una notación consistente \((a/b)\).
Elige los pasos en el orden adecuado.
También puedes utilizar Solución automática para obtener la solución completa con todos los pasos intermedios. Es útil para verificar un resultado o estudiar el proceso.
Errores típicos
Conviene vigilarlos
Confundir rango con determinante (el determinante solo existe para matrices cuadradas).
Formar menores tomando elementos que no formen una rejilla rectangular (filas × columnas).
Intentar ampliar a orden \(r+1\) si todavía no se ha encontrado un menor de orden \(r\) no nulo.
Ampliar un menor tomando como base un menor diferente del elegido en el paso anterior.
Ejemplo rápido
Aplicación del método
\[
A=\left(\begin{matrix}
2 & -3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & -4 & 0 \\
3 & -1 & -2 & 2
\end{matrix}\right)
\]
\[
\begin{aligned}
&\textbf{1. Menor de orden 2 no nulo}\text{ (filas 1,2; columnas 1,2):}\\
&\qquad\left|\begin{matrix}2 & -3 \\ 1 & 2\end{matrix}\right|=2\cdot 2-(-3)\cdot 1=4+3=7\ne 0\quad\checkmark\\[8pt]
&\textbf{2. Ampliar a orden 3}\text{ — añadimos fila 3 y columna 3 (columnas 1,2,3):}\\
&\qquad\left|\begin{matrix}2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \\ 3 & -1 & -2\end{matrix}\right|=-8+36-2-12-8-6=0\quad\text{(nulo, no vale)}\\[8pt]
&\textbf{3. Ampliar a orden 3}\text{ — añadimos fila 3 y columna 4 (columnas 1,2,4):}\\
&\qquad\left|\begin{matrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2\end{matrix}\right|=8+0-1-6-0+6=7\ne 0\quad\checkmark\\[8pt]
&\textbf{4. Conclusión: }\text{no es posible ampliar a orden 4 (la matriz tiene 3 filas).}\\
&\qquad\therefore\quad\operatorname{rg}(A)=3
\end{aligned}
\]
El mayor menor no nulo encontrado es de orden 3, por tanto el rango de la matriz es 3.
rg(A)=3
Ejercicios propuestos
Calcula el rango de cada matriz usando el método de los menores. Busca el mayor menor no nulo.
Ej. 1Matriz 3×3Nivel básico · rg = 3
Calcula el rango de la matriz:
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 2\\2 & 1 & 3\\4 & 1 & 8\end{matrix}\right)\]
Existe un menor de orden 3 no nulo, luego el rango es máximo.
rg(A) = 3
Ej. 2Matriz 3×3Nivel medio · rg = 2
Calcula el rango de la matriz:
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\\1 & 3 & 5\end{matrix}\right)\]
Menor de orden 3
La fila 2 es el doble de la fila 1 (\(F_2=2F_1\)), por lo que las filas son linealmente dependientes y \(|A|=0\). Por tanto \(\text{rg}(A)<3\). Necesitamos buscar si existe algún menor de orden 2 no nulo para determinar si el rango es 2 ó 1.
Búsqueda de menor de orden 2
\[\begin{vmatrix}1 & 3\\1 & 5\end{vmatrix}=5-3=2\neq 0\]
Existe un menor de orden 2 no nulo, luego \(\text{rg}(A)\geq 2\). Combinando: \(2\leq\text{rg}(A)<3\), por lo que el rango es exactamente 2.
rg(A) = 2
Ej. 3Matriz 2×3Nivel básico · rg = 2
Calcula el rango de la matriz:
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 5 & 7\end{matrix}\right)\]
El máximo rango posible es 2 (número de filas)
Buscamos un menor de orden 2 no nulo:
\[\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{vmatrix}=5-4=1\neq 0\]
rg(A) = 2
Recuerda: El rango nunca puede superar el mínimo entre el número de filas y de columnas.
Ej. 4Matriz 3×3Nivel medio · rg = 1
Calcula el rango de la matriz:
\[A=\left(\begin{matrix}2 & 4 & 6\\1 & 2 & 3\\3 & 6 & 9\end{matrix}\right)\]
Menores de orden 3 y orden 2
Todas las filas son múltiplos de \((1,2,3)\), por lo que todos los menores de orden 2 son nulos:
\[\begin{vmatrix}2 & 4\\1 & 2\end{vmatrix}=4-4=0,\quad\begin{vmatrix}4 & 6\\2 & 3\end{vmatrix}=12-12=0,\quad\ldots\]
Menor de orden 1
Existen elementos no nulos (p.ej. \(a_{11}=2\neq 0\)), así que \(\text{rg}(A)\geq 1\).
rg(A) = 1
Ej. 5Matriz 3×4Nivel avanzado · rg = 3
Calcula el rango de la matriz:
\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & -1\\3 & 6 & 1 & 1\\-2 & -4 & 1 & 3\end{matrix}\right)\]
Menor de orden 2
Probamos con filas 1,2 y columnas 1,2: \(\begin{vmatrix}1&2\\3&6\end{vmatrix}=6-6=0\). Probamos con filas 1,2 y columnas 1,3:
\[\begin{vmatrix}1 & 0\\3 & 1\end{vmatrix}=1-0=1\neq 0\quad\checkmark\]
Comprobamos los cuatro menores de orden 3 posibles (eligiendo 3 filas de las 4):
\[\begin{vmatrix}1&0&1\\2&1&3\\4&1&5\end{vmatrix}=5+0+2-4-3-0=0 \qquad \begin{vmatrix}1&0&1\\2&1&3\\3&1&4\end{vmatrix}=4+0+2-3-3-0=0\]
\[\begin{vmatrix}1&0&1\\4&1&5\\3&1&4\end{vmatrix}=4+0+4-3-5-0=0 \qquad \begin{vmatrix}2&1&3\\4&1&5\\3&1&4\end{vmatrix}=2(4-5)-1(16-15)+3(4-3)=-2-1+3=0\]
Todos los menores de orden 3 son nulos.
Conclusión
El mayor menor no nulo es de orden 2.
rg(A) = 2
Observación: Las filas 3 y 4 son combinaciones lineales de las dos primeras: \(F_3=2F_1+F_2\) y \(F_4=F_1+F_2\), de ahí que todos los menores de orden 3 sean nulos.
Ej. 7Matriz 4×3Nivel medio · rg = 1
Calcula el rango de la matriz:
\[A=\left(\begin{matrix}2 & 1 & -1\\4 & 2 & -2\\6 & 3 & -3\\8 & 4 & -4\end{matrix}\right)\]
Menores de orden 2
Todas las filas son múltiplos de \((2,1,-1)\): \(F_2=2F_1\), \(F_3=3F_1\), \(F_4=4F_1\). Por tanto, todos los menores de orden 2 son nulos:
\[\begin{vmatrix}2&1\\4&2\end{vmatrix}=4-4=0,\quad\begin{vmatrix}1&-1\\2&-2\end{vmatrix}=-2+2=0,\quad\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}=-4+4=0,\quad\ldots\]
Menor de orden 1
Existe \(a_{11}=2\neq 0\), luego \(\text{rg}(A)\geq 1\).
rg(A) = 1
¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tu propia matriz y calcular el rango mediante menores paso a paso y de forma automática.