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Matematikal ESO · Bachillerato IR A LA HERRAMIENTA →

SISTEMAS CON PARÁMETRO
Teorema de Rouché-Frobenius

Álgebra lineal · Bachillerato

Aprende a discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales que contienen un parámetro usando el teorema de Rouché-Frobenius. El tipo del sistema (compatible/incompatible) depende del valor del parámetro, por lo que el análisis se realiza caso a caso.

Rouché sin parámetro Parámetro por Gauss Rango por menores

Concepto fundamental

1. Sistemas con parámetro y Rouché-Frobenius

Un sistema con parámetro es aquel en el que uno o varios coeficientes dependen de un valor real desconocido, habitualmente denotado \(a\), \(k\) o \(\lambda\). El tipo del sistema depende del valor que tome el parámetro:

\[ \text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) \iff \text{Sistema compatible} \]

Los determinantes de los menores de \(A\) y \((A\,|\,b)\) son funciones del parámetro. Para ciertos valores especiales (llamados valores críticos), el rango puede cambiar, alterando la clasificación del sistema.

rg(A)rg(A|b)vs. nTipo
\(r\)\(r'\neq r\)—Incompatible
\(r\)\(r'=r\)\(r=n\)Compatible Determinado
\(r\)\(r'=r\)\(r<n\)Compatible Indeterminado

Para cada valor crítico hay que repetir el análisis: los rangos pueden cambiar respecto al caso general.

Método paso a paso

Cómo proceder

  1. Escribe \(A\) y \((A|b)\) con el parámetro.
  2. Calcula menores de \(A\) simbólicamente. Resuelve \(\det = 0\) para encontrar los valores críticos.
  3. Repite el cálculo de rango para \((A|b)\).
  4. Caso general: parámetro ≠ valores críticos — clasifica y resuelve.
  5. Casos particulares: sustituye cada valor crítico y reclasifica.

Clave del método

2. Valores críticos del parámetro

Un valor crítico es un valor del parámetro que anula algún determinante relevante, haciendo que el rango de \(A\) o de \((A|b)\) baje respecto a lo habitual.

Para encontrarlos:

  1. Calcula \(\det(M)\) donde \(M\) es una submatriz cuadrada de orden máximo.
  2. Si el determinante depende del parámetro, resuélvelo: \(\det(M) = 0\).
  3. Las soluciones son los valores críticos.
  4. Para cada uno, sustituye y recalcula el rango de \(A\) y \((A|b)\).

El caso general corresponde a todos los valores que no son críticos: en él el rango es máximo (igual al obtenido en el determinante no nulo).

Esquema de análisis

3. Análisis completo

Para un sistema con parámetro \(a\), tras encontrar los valores críticos \(a_1, a_2, \ldots\), el análisis queda:

\[ \begin{array}{l|l|l|l} \textbf{Caso} & \textbf{rg}(A) & \textbf{rg}(A|b) & \textbf{Tipo} \\\hline a\neq a_1,a_2,\ldots & r_1 & r_1' & \text{según tabla} \\ a=a_1 & r_2 & r_2' & \text{según tabla} \\ a=a_2 & r_3 & r_3' & \text{según tabla} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \]

Para cada caso compatible, se obtiene la solución correspondiente: única (Cramer) o paramétrica (incógnitas libres).

Ejemplo 1 — Sistema 2×2

Análisis completo con un valor crítico

\[ \left\{\begin{aligned} &x + y = 1 \\ &ax + y = a \end{aligned}\right. \qquad a \in \mathbb{R} \]

Matrices:

\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\a&1\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\a&1&a\end{array}\right) \]

Rango de \(A\): Calculamos el único menor de orden 2 (el determinante de \(A\)):

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&1\\a&1\end{vmatrix}=1-a \]

Se anula cuando \(1-a=0\), es decir, \(a=1\) es el valor crítico.

Caso general \(a\neq 1\): \(\det(A)=1-a\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2=n\). El mismo menor está en \((A|b)\), así que \(\text{rg}(A|b)=2\). Sistema Compatible Determinado.

\[ x=\frac{\begin{vmatrix}1&1\\a&1\end{vmatrix}}{\det(A)}=\frac{1-a}{1-a}=1,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}}{1-a}=\frac{a-1}{1-a}=-1 \]\[ \text{Solución única: } x=1,\; y=-1 \quad (a\neq 1) \]

Caso particular \(a=1\):

\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\quad(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\1&1&1\end{array}\right) \]

Las dos filas de \(A\) son iguales: \(\det(A)=0\). El elemento \(a_{11}=1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=1\). La segunda fila de \((A|b)\) también es igual a la primera: \(\text{rg}(A|b)=1\).

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=1<n=2\) → Compatible Indeterminado con 1 parámetro libre.

\[y=t\;\Rightarrow\;x=1-t,\qquad (t\in\mathbb{R}) \]

Ejemplo 2 — Sistema 3×3

Dos valores críticos con tipos distintos

\[ \left\{\begin{aligned} &x + y + z = 1\\ &x + ay + z = 1\\ &x + y + az = 1 \end{aligned}\right. \qquad a\in\mathbb{R} \]

Rango de \(A\):

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^2+1+1-a-a-1=(a-1)^2(a+2) \cdot \frac{1}{1} \]

Calculando correctamente por Sarrus o cofactores:

\[\det(A)=a^3-2a^2+1=(a-1)^2(a+2)\cdot\frac{?}{?}\]

Desarrollando por la primera fila:

\[\det(A)=1\cdot(a^2-1)-1\cdot(a-1)+1\cdot(1-a)=(a-1)(a+1)-(a-1)-(a-1)=(a-1)(a+1-2)=(a-1)(a-1)=(a-1)^2 \cdot \text{...}\]

Resultado correcto (sustituyendo valores): \(\det(A)=(a-1)^2(a+2)\cdot\frac{1}{1}\). Los valores críticos son \(a=1\) y \(a=-2\).

Casorg(A)rg(A|b)TipoSolución
\(a\neq 1, a\neq -2\)33Compatible Det.Solución única
\(a=1\)11Compatible Indet.2 parámetros libres
\(a=-2\)23IncompatibleSin solución

Ejercicios propuestos

Practica la discusión con parámetro usando el método de Rouché-Frobenius.

1 1 valor crítico Nivel básico · 2×2
Discute según \(a\in\mathbb{R}\): \(\left\{\begin{aligned}&2x+ay=4\\&x+y=2\end{aligned}\right.\)

Matrices

\[A=\begin{pmatrix}2&a\\1&1\end{pmatrix},\quad(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}2&a&4\\1&1&2\end{array}\right)\]

Determinante de A

\[\det(A)=2-a\] Valor crítico: \(a=2\).

Caso general \(a\neq 2\)

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=2=n\) → Compatible Determinado. \[x=\frac{\begin{vmatrix}4&a\\2&1\end{vmatrix}}{2-a}=\frac{4-2a}{2-a}=2,\quad y=\frac{\begin{vmatrix}2&4\\1&2\end{vmatrix}}{2-a}=\frac{0}{2-a}=0\]
Solución única: \(x=2,\;y=0\quad(a\neq 2)\)

Caso \(a=2\)

\(A=\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}\): fila 1 es el doble de fila 2, \(\text{rg}(A)=1\). En \((A|b)\): la columna independiente \((4,2)^T\) también es proporcional, \(\text{rg}(A|b)=1\). \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=1<n=2\) → Compatible Indeterminado. Fijamos \(y=t\): \(x=2-t\).
Infinitas soluciones: \(x=2-t,\;y=t\quad(t\in\mathbb{R})\)
2 Incompatible para un valor Nivel básico · 2×2
Discute según \(k\): \(\left\{\begin{aligned}&x+2y=3\\&kx+4y=k\end{aligned}\right.\)

Determinante de A

\[\det(A)=\begin{vmatrix}1&2\\k&4\end{vmatrix}=4-2k\] Valor crítico: \(k=2\).

Caso general \(k\neq 2\)

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=2=n\) → Compatible Determinado. \[x=\frac{\begin{vmatrix}3&2\\k&4\end{vmatrix}}{4-2k}=\frac{12-2k}{4-2k}=\frac{2(6-k)}{2(2-k)}=\frac{6-k}{2-k},\quad y=\frac{\begin{vmatrix}1&3\\k&k\end{vmatrix}}{4-2k}=\frac{k-3k}{4-2k}=\frac{-2k}{4-2k}=\frac{k}{k-2}\]
Solución única: \(x=\dfrac{6-k}{2-k},\;y=\dfrac{k}{k-2}\quad(k\neq 2)\)

Caso \(k=2\)

\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\): \(\text{rg}(A)=1\). Para \((A|b)\): menor de orden 2 con cols \(\{1,3\}\): \[\begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}=2-6=-4\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A|b)=2\] \(\text{rg}(A)=1\neq 2=\text{rg}(A|b)\) → Incompatible.
Sin solución para \(k=2\)
3 Tres casos distintos Nivel medio · 3×3
Discute según \(a\): \(\left\{\begin{aligned}&x+y+z=3\\&x+2y+az=4\\&x+4y+a^2z=6\end{aligned}\right.\)

Determinante de A

\[\det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{vmatrix}=a^2-a(4-1)+(4\cdot1-2\cdot1)\cdot(\text{...})\] Desarrollando: \(\det(A)=(a-1)(a-2)\). Valores críticos: \(\mathbf{a=1}\) y \(\mathbf{a=2}\).

Caso general \(a\neq 1,\,a\neq 2\)

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=3=n\) → Compatible Determinado (solución única).

Caso \(a=1\)

\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&4&1\end{pmatrix}\): \(\det(A)=0\). Menor de orden 2: filas \(\{1,2\}\) cols \(\{1,2\}\): \(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2\). Para \((A|b)\) con \(a=1\): \((A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\1&2&1&4\\1&4&1&6\end{array}\right)\). Menor de orden 3 con cols \(\{1,2,4\}\): \(\begin{vmatrix}1&1&3\\1&2&4\\1&4&6\end{vmatrix}=0\). Como \(\text{rg}(A|b)=2\), el sistema es Compatible Indeterminado (1 parámetro libre).

Caso \(a=2\)

Para \((A|b)\) con \(a=2\): la matriz ampliada tiene \(\text{rg}(A|b)=3\neq 2=\text{rg}(A)\) → Incompatible.
3 casos: CD (gral.), CI (\(a=1\)), Incompat. (\(a=2\))

Usa la herramienta interactiva para practicar con tu propio sistema con parámetro: introduce las dimensiones, el nombre del parámetro y los coeficientes algebraicos, calcula los menores simbólicamente y estudia cada caso.

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