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Matematikal ESO · Bachillerato IR A LA HERRAMIENTA →

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Teorema de Rouché-Frobenius

Álgebra lineal · Bachillerato

Esta página ayuda a discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de los menores. Es decir, mediante el cálculo de rangos por menores, la aplicación del teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer.

Método de Gauss Rango por Gauss Rango por menores

Notación general

Sistema de \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas

\[ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots \hspace{6em} &\;\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned}\right. \]
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]
\[ (A\,|\,b) = \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right) \]

El teorema fundamental

1. Teorema de Rouché-Frobenius

Dado un sistema de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas, sea \(A\) la matriz de coeficientes y \((A\,|\,b)\) la matriz ampliada. El teorema establece:

\[ \text{El sistema es compatible} \iff \text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) \]

A partir de esta condición y del número de incógnitas \(n\), se obtiene la clasificación completa:

rg(A)rg(A|b)Comparación con nTipo de sistema
\(r\)\(r' \neq r\)—Incompatible (sin solución)
\(r\)\(r'=r\)\(r = n\)Compatible Determinado (solución única)
\(r\)\(r'=r\)\(r < n\)Compatible Indeterminado (\(n-r\) parámetros libres)

Cuando el sistema es compatible indeterminado, la solución depende de \(n - \text{rg}(A)\) parámetros libres (uno por cada incógnita que no esté determinada univocamente).

Antes de empezar

Notas de uso

  • Introduce el sistema siempre con las incógnitas en el mismo orden en todas las ecuaciones.
  • Para calcular el rango usa menores: busca el de mayor orden con determinante no nulo.
  • Valida cada celda con ENTER o TAB.
  • Si introduces fracciones usa la notación a/b.
  • No puedes avanzar al siguiente paso sin completar el anterior.

Herramienta clave

2. Rango de una matriz mediante menores

El rango de una matriz \(A\) de orden \(m \times n\) es el mayor entero \(r\) tal que existe al menos un menor de orden \(r\) con determinante distinto de cero.

Un menor de orden \(k\) de \(A\) es el determinante de la submatriz cuadrada \(k \times k\) que se obtiene eligiendo \(k\) filas y \(k\) columnas de \(A\).

El orden máximo de menores que podemos calcular en \(A\) es \(\min(m,n)\). Para determinar el rango:

  1. Calcula algún menor del orden máximo posible.
  2. Si es no nulo, el rango es ese orden máximo.
  3. Si todos los del orden máximo son nulos, baja un orden y repite.
  4. El rango es el mayor orden para el que existe algún menor no nulo.

Si la matriz es la nula, su rango es 0.

Pasos del método

3. Cómo aplicar el teorema

  1. Escribir las matrices \(A\) y \((A\,|\,b)\) a partir del sistema.
  2. Calcular \(\text{rg}(A)\) buscando el mayor orden de menor no nulo en la matriz de coeficientes.
  3. Calcular \(\text{rg}(A\,|\,b)\) haciendo lo mismo sobre la matriz ampliada.
  4. Aplicar el teorema:
    • Si \(\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A\,|\,b)\) → Incompatible.
    • Si \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) = n\) → Compatible Determinado.
    • Si \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) < n\) → Compatible Indeterminado.
  5. Obtener la solución si el sistema es compatible:
    • Si es Compatible Determinado: aplicar la regla de Cramer.
    • Si es Compatible Indeterminado: asignar parámetros a las \(n-r\) incógnitas libres y aplicar la regla de Cramer al subsistema cuadrado resultante.

Resolución del sistema

4. Regla de Cramer

Cuando el sistema es Compatible Determinado (\(\text{rg}(A)=n\), es decir \(\det(A)\neq 0\)), cada incógnita se obtiene como cociente de dos determinantes:

\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad i=1,2,\ldots,n \]

donde \(A_i\) es la matriz que resulta de sustituir la columna \(i\)-ésima de \(A\) por el vector de términos independientes \(b\):

\[ A_i = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

Cuando el sistema es Compatible Indeterminado, se asignan parámetros \(t_1, t_2, \ldots\) a las incógnitas libres y se aplica la regla de Cramer al subsistema cuadrado que queda con las incógnitas no libres.

Ejemplo — Compatible Determinado 3×3

\[ \left\{\begin{aligned} &x + y + z = 6 \\ &x - y + z = 2 \\ &2x + y - z = 1 \end{aligned}\right. \]
\[\det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=6\neq 0\;\Rightarrow\;\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=3=n\;\Rightarrow\;\textbf{Compatible Determinado}\]

Aplicamos Cramer:

\[\begin{aligned} &\det(A_1)=\begin{vmatrix}6&1&1\\2&-1&1\\1&1&-1\end{vmatrix}=0+3+3=6,\quad \det(A_2)=\begin{vmatrix}1&6&1\\1&2&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=-3+18-3=12\\[10pt] &\det(A_3)=\begin{vmatrix}1&1&6\\1&-1&2\\2&1&1\end{vmatrix}=-3+3+18=18 \end{aligned}\]
\[ x=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}=\frac{6}{6}=1,\qquad y=\frac{\det(A_2)}{\det(A)}=\frac{12}{6}=2,\qquad z=\frac{\det(A_3)}{\det(A)}=\frac{18}{6}=3 \]

Ejemplo — Compatible Indeterminado 3×3

\[ \left\{\begin{aligned} &x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\ &2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 8 \\ &x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \end{aligned}\right. \]
\[\begin{aligned}&\text{Como las filas 1 y 2 son proporcionales y }\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq 0\;\Rightarrow\;\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=2\\&\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=2<n=3\;\Rightarrow\;\textbf{Compatible Indeterminado}\end{aligned}\]

Fijamos \(x_3=t\). Subsistema con las ecuaciones 1.ª y 3.ª:

\[ \left\{\begin{aligned}x_1+x_2&=4-t\\x_1+2x_2&=1+t\end{aligned}\right. \qquad A_s=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\quad\det(A_s)=1 \]
\[ \det(A_{s,1})=\begin{vmatrix}4-t&1\\1+t&2\end{vmatrix}=7-3t,\qquad \det(A_{s,2})=\begin{vmatrix}1&4-t\\1&1+t\end{vmatrix}=2t-3 \]
\[ x_1=7-3t,\qquad x_2=2t-3,\qquad x_3=t\quad(t\in\mathbb{R}) \]

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1 — Compatible Determinado

Sistema con solución única

\[ \left\{\begin{aligned} &x + y = 3 \\ &x - y = 1 \end{aligned}\right. \]

1) Matrices:

\[ A = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b) = \left(\begin{array}{cc|c}1&1&3\\1&-1&1\end{array}\right) \]

2) Rango de \(A\). La matriz es \(2\times 2\), por lo que el máximo orden de menores es \(\min(2,2)=2\). Calculamos el único menor de orden 2 (el determinante de \(A\)):

\[ \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix} = -1-1 = -2 \neq 0 \]

Como existe un menor de orden 2 no nulo: \(\text{rg}(A) = 2\).

3) Rango de \((A\,|\,b)\). La matriz ampliada es \(2\times 3\), el máximo orden es \(\min(2,3)=2\). Cualquier menor de orden 2 que incluya alguna de las tres columnas y tenga determinante no nulo basta. Ya sabemos que el menor formado por las filas \(\{1,2\}\) y columnas \(\{1,2\}\) vale \(-2 \neq 0\), por tanto: \(\text{rg}(A\,|\,b) = 2\).

4) Aplicación del teorema: \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) = 2 = n\) → Compatible Determinado.

5) Solución por la regla de Cramer. Formamos \(A_1\) y \(A_2\) sustituyendo cada columna por \(b=(3,1)^T\):

\[\det(A)=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1=-2\]
\[ \det(A_1)=\begin{vmatrix}3&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3-1=-4,\qquad \det(A_2)=\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}=1-3=-2 \]
\[ x=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}=\frac{-4}{-2}=2,\qquad y=\frac{\det(A_2)}{\det(A)}=\frac{-2}{-2}=1 \]
\[ \text{Solución única: } \left[x=2,\; y=1\right] \]

Ejemplo 2 — Compatible Indeterminado

Sistema con infinitas soluciones

\[ \left\{\begin{aligned} &x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\ &2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 4 \\ &x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \end{aligned}\right. \]

1) Matrices:

\[ A = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\1&-1&2\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b) = \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\2&2&2&4\\1&-1&2&1\end{array}\right) \]

2) Rango de \(A\). La matriz es \(3\times 3\), máximo orden \(=3\). El determinante de \(A\):

\[ \det(A) = 1\cdot(4+2)-1\cdot(4-2)+1\cdot(-2-2) = 6-2-4 = 0 \]

Todos los menores de orden 3 son nulos (en realidad el determinante es el único). Bajamos a orden 2. Por ejemplo, las filas \(\{1,3\}\) y columnas \(\{1,2\}\):

\[ \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix} = -1-1 = -2 \neq 0 \]

Por tanto \(\text{rg}(A) = 2\).

3) Rango de \((A\,|\,b)\). La segunda fila es exactamente el doble de la primera: \(b_2=4=2\cdot 2=2b_1\). El menor de orden 3 formado por las filas \(\{1,2,3\}\) y columnas \(\{1,2,4\}\) (recordando que la columna 4 es la de términos independientes):

\[ \begin{vmatrix}1&1&2\\2&2&4\\1&-1&1\end{vmatrix}=1(2+4)-1(2-4)+2(-2-2)=6+2-8=0 \]

Y todos los menores de orden 3 de \((A\,|\,b)\) resultan nulos. El mismo menor de orden 2 \((-2)\) ya encontrado garantiza \(\text{rg}(A\,|\,b) = 2\).

4) Aplicación del teorema: \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) = 2 < n=3\) → Compatible Indeterminado con \(3-2=1\) parámetro libre.

5) Solución por la regla de Cramer. Fijamos la incógnita libre \(x_3=t\). Las dos ecuaciones independientes son la 1.ª y la 3.ª; pasando \(x_3\) al segundo miembro queda el subsistema cuadrado:

\[ \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=2-t\\ x_1-x_2&=1-2t \end{aligned}\right. \qquad A_s=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad b_s=\begin{pmatrix}2-t\\1-2t\end{pmatrix} \]

\(\det(A_s)=-1-1=-2\). Aplicamos Cramer:

\[ \det(A_{s,1})=\begin{vmatrix}2-t&1\\1-2t&-1\end{vmatrix}=-(2-t)-(1-2t)=3t-3 \]
\[ \det(A_{s,2})=\begin{vmatrix}1&2-t\\1&1-2t\end{vmatrix}=(1-2t)-(2-t)=-1-t \]
\[ x_1=\frac{3t-3}{-2}=\frac{3-3t}{2},\qquad x_2=\frac{-1-t}{-2}=\frac{1+t}{2},\qquad x_3=t \]
\[ \text{Infinitas soluciones: }\left\{\begin{aligned}&x_1=\tfrac{3-3t}{2}\\&x_2=\tfrac{1+t}{2}\\&x_3=t\end{aligned}\right.\quad (t\in\mathbb{R}) \]

Ejemplo 3 — Incompatible

Sistema sin solución

\[ \left\{\begin{aligned} &x + y = 1 \\ &2x + 2y = 5 \end{aligned}\right. \]

1) Matrices:

\[ A = \begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b) = \left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\2&2&5\end{array}\right) \]

2) Rango de \(A\). \(\det(A) = 2-2 = 0\). Bajamos a orden 1: el elemento \(a_{11}=1\neq 0\), por tanto \(\text{rg}(A)=1\).

3) Rango de \((A\,|\,b)\). Calculamos el menor de orden 2 formado por las filas \(\{1,2\}\) y columnas \(\{1,3\}\):

\[ \begin{vmatrix}1&1\\2&5\end{vmatrix} = 5-2 = 3 \neq 0 \]

Por tanto \(\text{rg}(A\,|\,b) = 2\).

4) Aplicación del teorema: \(\text{rg}(A) = 1 \neq 2 = \text{rg}(A\,|\,b)\) → Sistema Incompatible. No tiene solución.

Ejercicios propuestos

Practica el teorema de Rouché-Frobenius: dos ejercicios de cada tipo.

1 Compatible Determinado Nivel básico
Discute y resuelve el sistema: \(\left\{\begin{aligned}&2x+y=5\\&x-y=1\end{aligned}\right.\)

Matrices

\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}2&1&5\\1&-1&1\end{array}\right)\]

Rangos

\[\det(A)=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2\] El mismo menor garantiza \(\text{rg}(A|b)=2\).

Discusión

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=2=n\) → Compatible Determinado.

Solución (Cramer)

\(\det(A)=-3\). \[\det(A_1)=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=-5-1=-6,\qquad\det(A_2)=\begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}=2-5=-3\] \[x=\frac{-6}{-3}=2,\qquad y=\frac{-3}{-3}=1\]
\(x=2,\quad y=1\)
2 Compatible Determinado Nivel medio
Discute y resuelve: \(\left\{\begin{aligned}&x+y+z=6\\&2x-y+z=3\\&x+2y-z=2\end{aligned}\right.\)

Matrices

\[A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{pmatrix}\]

Rangos

\[\det(A)=1(1-2)-1(-2-1)+1(4+1)=-1+3+5=7\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=3\] El mismo menor garantiza \(\text{rg}(A|b)=3\).

Discusión

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=3=n\) → Compatible Determinado.

Solución (Cramer)

\(\det(A)=7\). \[\det(A_1)=\begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}=6(1-2)-1(-3-2)+1(6+2)=-6+5+8=7\] \[\det(A_2)=\begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=1(-3-2)-6(-2-1)+1(4-3)=-5+18+1=14\] \[\det(A_3)=\begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=1(-2-6)-1(4-3)+6(4+1)=-8-1+30=21\] \[x=\frac{7}{7}=1,\qquad y=\frac{14}{7}=2,\qquad z=\frac{21}{7}=3\]
\(x=1,\quad y=2,\quad z=3\)
3 Compatible Indeterminado Nivel básico
Discute: \(\left\{\begin{aligned}&x+2y=4\\&2x+4y=8\end{aligned}\right.\)

Rangos

\[\det(A)=\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}=4-4=0\Rightarrow\text{rg}(A)<2\] El elemento \(a_{11}=1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=1\). La fila 2 de \((A|b)\) es el doble de la fila 1, así que \(\text{rg}(A|b)=1\).

Discusión

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=1 < n=2\) → Compatible Indeterminado con 1 parámetro.

Solución (Cramer)

Fijamos la incógnita libre \(y=t\). El subsistema resultante es la ecuación \(x=4-2t\), con matriz \(A_s=(1)\) y \(b_s=(4-2t)\): \[x=\frac{\det(A_{s,1})}{\det(A_s)}=\frac{4-2t}{1}=4-2t\]
Infinitas soluciones: \(x=4-2t,\;y=t\quad(t\in\mathbb{R})\)
4 Compatible Determinado Nivel medio
Discute: \(\left\{\begin{aligned}&x+y+z=3\\&2x+y-z=1\\&x-z=0\end{aligned}\right.\)

Rangos

\[\det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&1&-1\\1&0&-1\end{vmatrix}=1(-1-0)-1(-2+1)+1(0-1)=-1+1-1=-1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=3\] El mismo menor garantiza \(\text{rg}(A|b)=3\).

Discusión

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=3=n\) → Compatible Determinado.

Solución (Cramer)

\(\det(A)=-1\). \[\det(A_1)=\begin{vmatrix}3&1&1\\1&1&-1\\0&0&-1\end{vmatrix}=3(-1-0)-1(-1-0)+1(0-0)=-3+1=-2\] \[\det(A_2)=\begin{vmatrix}1&3&1\\2&1&-1\\1&0&-1\end{vmatrix}=1(-1-0)-3(-2+1)+1(0-1)=-1+3-1=1\] \[\det(A_3)=\begin{vmatrix}1&1&3\\2&1&1\\1&0&0\end{vmatrix}=1(0-0)-1(0-1)+3(0-1)=0+1-3=-2\] \[x=\frac{-2}{-1}=2,\qquad y=\frac{1}{-1}=-1,\qquad z=\frac{-2}{-1}=2\]
\(x=2,\quad y=-1,\quad z=2\)
5 Incompatible Nivel básico
Discute: \(\left\{\begin{aligned}&x+2y=3\\&2x+4y=9\end{aligned}\right.\)

Rangos

\[\det(A)=4-4=0\Rightarrow\text{rg}(A)=1\quad(\text{pues }a_{11}=1\neq 0)\] Para \((A|b)\): menor de orden 2 con filas \(\{1,2\}\) y columnas \(\{1,3\}\): \[\begin{vmatrix}1&3\\2&9\end{vmatrix}=9-6=3\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A|b)=2\]

Discusión

\(\text{rg}(A)=1\neq 2=\text{rg}(A|b)\) → Sistema Incompatible. Sin solución.
6 Incompatible Nivel medio
Discute: \(\left\{\begin{aligned}&x+y-z=1\\&2x+2y-2z=3\\&x-y+z=2\end{aligned}\right.\)

Rangos

Las filas 1 y 2 de \(A\) son proporcionales (\(F_2=2F_1\)), por lo que \(\det(A)=0\). Menor de orden 2: filas \(\{1,3\}\) cols \(\{1,2\}\): \[\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1=-2\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2\] Para \((A|b)\): menor de orden 3 con todas las filas y cols \(\{1,2,4\}\): \[\begin{vmatrix}1&1&1\\2&2&3\\1&-1&2\end{vmatrix}=1(4+3)-1(4-3)+1(-2-2)=7-1-4=2\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A|b)=3\]

Discusión

\(\text{rg}(A)=2\neq 3=\text{rg}(A|b)\) → Sistema Incompatible.

Usa la herramienta interactiva para practicar el teorema de Rouché-Frobenius paso a paso: introduce tu sistema, calcula menores eligiendo filas y columnas, confirma cada rango y obtén la clasificación y la solución.

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