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Ecuaciones matriciales
Ecuaciones matriciales: método de resolución
Todo lo que necesitas para resolver ecuaciones matriciales:
- Qué es una ecuación matricial y cuándo tiene solución.
- Los cuatro tipos principales y cómo factorizar la incógnita.
- Ejemplos resueltos paso a paso de cada tipo.
Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato
1. ¿Qué es una ecuación matricial?
Una ecuación matricial es una ecuación en la que la incógnita es una matriz, habitualmente llamada \(X\). Las restantes matrices (conocidas) se representan con letras mayúsculas \(A, B, C\ldots\)
El objetivo es encontrar la matriz \(X\) que satisface la ecuación. La herramienta de esta página resuelve ecuaciones que pueden despejarse siguiendo tres pasos:
- Pasar todos los sumandos con X al primer miembro y los demás al segundo.
- Extraer X como factor común por la izquierda o por la derecha, obteniendo una ecuación de la forma \(L \cdot X \cdot R = B\).
- Multiplicar por las inversas de \(L\) y \(R\) (cuando existan): \(X = L^{-1} \cdot B \cdot R^{-1}\).
Importante: el producto de matrices NO es conmutativo:
· Si \(LX = B\), entonces \(X = L^{-1}B\) (no \(B \cdot L^{-1}\)).
· Si \(XR = B\), entonces \(X = B \cdot R^{-1}\) (no \(R^{-1} \cdot B\)).
3. Tipos de ecuaciones matriciales
Tipo 1 — Un único sumando con X
Se aplica la inversa directamente:
AX = B
\(\Rightarrow X = A^{-1}B\)
XA = B
\(\Rightarrow X = BA^{-1}\)
AXB = C
\(\Rightarrow X = A^{-1}CB^{-1}\)
Tipo 2 — Varios sumandos que acaban igual desde X
Se extrae \(X\) como factor común por la izquierda:
AX + BX = C
\(\Rightarrow (A+B)X = C \Rightarrow X = (A+B)^{-1}C\)
AX − BX + CX = D
\(\Rightarrow (A-B+C)X = D \Rightarrow X = (A-B+C)^{-1}D\)
AXC + BXC = D
\(\Rightarrow (A+B)XC = D \Rightarrow X = (A+B)^{-1}DC^{-1}\)
Tipo 3 — Varios sumandos que empiezan igual hasta X
Se extrae \(X\) como factor común por la derecha:
XA + XB = C
\(\Rightarrow X(A+B) = C \Rightarrow X = C(A+B)^{-1}\)
AXB + AXC = D
\(\Rightarrow AX(B+C) = D \Rightarrow X = A^{-1}D(B+C)^{-1}\)
Tipo 4 — X aparece en ambos miembros
Se traslada y se factoriza:
AX + B = CX + D
\(\Rightarrow (A-C)X = D-B \Rightarrow X = (A-C)^{-1}(D-B)\)
5. Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 — AX = B (2×2)
\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}\]
Paso 1: plantear el despeje
\(AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B\)
Paso 2: calcular A⁻¹
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A)^T = \frac{1}{2\cdot1-1\cdot1}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\]
Paso 3: calcular X = A⁻¹B
\[X = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5-3&4-2\\-5+6&-4+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&2\\1&0\end{pmatrix}\]
\(X = \begin{pmatrix}2&2\\1&0\end{pmatrix}\)
Ejemplo 2 — AX + BX = C (2×2)
\[A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}4&3\\2&3\end{pmatrix}\]
Paso 1: factorizar por la izquierda
\((A+B)X = C \Rightarrow X = (A+B)^{-1}C\)
Paso 2: calcular (A+B)⁻¹
\[A+B = \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad (A+B)^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\]
Paso 3: calcular X
\[X = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&3\\2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4-2&3-3\\-4+4&-3+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\]
\(X = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\)
Ejemplo 3 — AXB = C (2×2)
\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}3&5\\2&3\end{pmatrix}\]
Paso 1: plantear el despeje
\(AXB = C \Rightarrow X = A^{-1}CB^{-1}\)
Paso 2: calcular A⁻¹ y B⁻¹
\[A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix},\qquad B^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\]
Paso 3: calcular X = A⁻¹CB⁻¹
\[A^{-1}C = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&5\\2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\]
\[X = \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\]
\(X = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\)
Ejemplo 4 — AX + B = C, orden 3×3
\[A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&-1&2\\3&0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}3&2&4\\3&0&1\\3&6&4\end{pmatrix}\]
Paso 1: despejar X
\(AX = C - B \Rightarrow X = A^{-1}(C-B)\)
Paso 2: calcular C − B y A⁻¹
\[C-B = \begin{pmatrix}2&0&4\\3&1&-1\\0&6&3\end{pmatrix},\qquad A^{-1} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}&0&0\\0&1&0\\0&0&\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}\]
Paso 3: calcular X
\[X = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}&0&0\\0&1&0\\0&0&\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&4\\3&1&-1\\0&6&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&-1\\0&2&1\end{pmatrix}\]
\(X = \begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&-1\\0&2&1\end{pmatrix}\)
Ejemplo 5 — AXB = AXC + D, orden 3×3
\[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix},\quad C=I_3,\quad D=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&6\\-1&2&7\end{pmatrix}\]
Paso 1: factorizar
\(AXB - AXC = D \Rightarrow AX(B-C) = D \Rightarrow X = A^{-1}D(B-C)^{-1}\)
Paso 2: calcular B − C, A⁻¹ y (B−C)⁻¹
\[B-C = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\2&-1&1\end{pmatrix},\qquad (B-C)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\]
Paso 3: calcular X = A⁻¹D(B−C)⁻¹
\[A^{-1}D = \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\2&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&6\\-1&2&7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&2\\-1&0&2\\0&2&5\end{pmatrix}\]
\[X = \begin{pmatrix}1&1&2\\-1&0&2\\0&2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}\]
\(X = \begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}\)