Todo lo que necesitas para calcular determinantes de cualquier orden:
Cómo calcular determinantes de orden 2, 3 y 4 o superior.
Menor complementario, cofactor y desarrollo de Laplace.
Propiedades principales con ejemplos numéricos.
Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato
1. ¿Qué es el determinante?
El determinante de una matriz cuadrada \(A\) es un número real que queda unívocamente determinado por los elementos de dicha matriz. Se denota \(\det(A)\) o \(|A|\). Solo está definido para matrices cuadradas (mismo número de filas y columnas).
Sus aplicaciones son múltiples en álgebra lineal:
Invertibilidad: decidir si una matriz es invertible, es decir, si admite matriz inversa.
Rango: relacionar el determinante con el rango de la matriz.
Regla de Cramer: resolver sistemas de ecuaciones lineales cuando el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo.
Aplicaciones geométricas: calcular áreas de paralelogramos y volúmenes de paralelepípedos.
Relación con otros conceptos clave:
Invertibilidad: \(A\) es invertible \(\Longleftrightarrow \det(A)\neq 0\).
Rango: si \(A\) es cuadrada y \(\det(A)\neq 0\), entonces \(\text{rg}(A)=\text{orden de }A\); si \(\det(A)=0\), entonces \(\text{rg}(A)<\text{orden}\).
Regla de Cramer: si \(A\) es cuadrada y \(\det(A)\neq 0\), la solución única del sistema \(Ax=b\) es \(x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}\).
Sistemas homogéneos: si \(A\) es cuadrada, \(Ax=0\) tiene solución no trivial \(\Longleftrightarrow \det(A)=0\).
2. Determinante de orden 2
Para una matriz \(2\times 2\) la fórmula es directa: se restan los productos de las diagonales.
\[
\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc
\]
Para una matriz \(3\times 3\) existe un método mnemotécnico llamado regla de Sarrus. La idea es repetir las dos primeras columnas a la derecha y sumar los productos de las tres diagonales descendentes, restando los de las tres diagonales ascendentes.
Atención: la regla de Sarrus es exclusiva del orden 3. No funciona para matrices de orden 4 o superior. Para esos casos es obligatorio usar el teorema de Laplace.
El menor complementario \(M_{ij}\) del elemento \(a_{ij}\) es el determinante de la submatriz de orden \(n-1\) que se obtiene al suprimir la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz \(A\).
Cofactor (adjunto) \(A_{ij}\)
El cofactor del elemento \(a_{ij}\) incorpora el signo correspondiente a su posición:
\[A_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot M_{ij}\]
La tabla de signos \((-1)^{i+j}\) tiene la siguiente estructura:
Para matrices de orden \(n\geq 4\), la regla de Sarrus no es aplicable. Se utiliza el teorema de Laplace (o desarrollo por adjuntos), que permite calcular \(\det(A)\) eligiendo cualquier fila o columna:
\[
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot A_{ij}
\quad\text{(desarrollo por la fila }i\text{)}
\]
\[
\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\cdot A_{ij}
\quad\text{(desarrollo por la columna }j\text{)}
\]
Conviene elegir la fila o columna con más ceros, ya que los términos con \(a_{ij}=0\) no contribuyen al resultado y simplifican el cálculo. Aplicando el teorema repetidamente se reduce el orden hasta llegar a determinantes de orden 3, donde se aplica Sarrus.
Una estrategia muy habitual para orden 4 consiste en introducir ceros mediante operaciones de fila del tipo \(F_i \to F_i + \lambda F_j\) (que no cambian el valor del determinante) antes de desarrollar por Laplace.
¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de determinantes te permite introducir tu propia matriz y obtener el resultado paso a paso, con el desarrollo por adjuntos detallado.
Estas propiedades permiten simplificar el cálculo y son válidas tanto para filas como para columnas (por la propiedad 7).
Propiedad 1 — Intercambio de filas o columnasIntercambiar dos filas (o dos columnas) cambia el signo del determinante.
Ej: \(\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{vmatrix}=5\). Al intercambiar \(F_1\leftrightarrow F_2\):
\(\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 2 & 3\end{vmatrix}=3-8=-5\).
Propiedad 2 — Factor comúnUn factor común a todos los elementos de una fila (o columna) puede extraerse fuera del determinante.
Ej: \(\begin{vmatrix}6 & 9 \\ 2 & 5\end{vmatrix} = 3\cdot\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 2 & 5\end{vmatrix} = 3\cdot(10-6) = 3\cdot 4 = 12\).
Propiedad 3 — Operación \(F_i\to F_i + \lambda F_j\)Sumar a una fila un múltiplo de otra fila no cambia el valor del determinante. Esta es la operación clave para introducir ceros antes de aplicar Laplace.
Atención: si la operación es \(F_i\to aF_i+\lambda F_j\) con \(a\neq 1\), el determinante queda multiplicado por \(a\).
Propiedad 4 — Fila o columna de cerosSi una fila (o columna) tiene todos sus elementos iguales a cero, el determinante es cero.
Ej: \(\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix} = 0\).
Propiedad 5 — Filas o columnas proporcionalesSi dos filas (o columnas) son proporcionales entre sí, el determinante es cero.
Ej: \(\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 6\end{vmatrix} = 6 - 6 = 0\) (la segunda fila es el triple de la primera).
Propiedad 6 — Matriz triangularEl determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de la diagonal principal.
Ej: \(\begin{vmatrix}2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{vmatrix} = 2\cdot(-1)\cdot 3 = -6\).
Propiedad 7 — Determinante de la transpuestaEl determinante de una matriz y el de su transpuesta son iguales: \(\det(A^T)=\det(A)\). Por ello, todas las propiedades de filas son válidas también para columnas.
Propiedad 8 — Producto de matricesEl determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de sus determinantes: \(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)\).
Consecuencia: si \(A\) es invertible, \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\).
7. Errores frecuentes
Aplicar la regla de Sarrus a órdenes distintos de 3. La regla de Sarrus solo funciona para matrices \(3\times 3\). Para órdenes superiores hay que usar el teorema de Laplace.
Olvidar el signo \((-1)^{i+j}\) al calcular el cofactor. El cofactor incorpora el signo de la posición; sin él se está calculando el menor complementario, no el cofactor.
No tener en cuenta el factor \(a\) en \(F_i\to aF_i+\lambda F_j\). Esta operación multiplica el determinante por \(a\). Solo cuando \(a=1\) el determinante no varía.
Perder signos en el desarrollo por adjuntos. Conviene escribir explícitamente cada término \(a_{ij}\cdot A_{ij}\) antes de calcular y sumar.
Confundir el menor complementario con el cofactor. El menor \(M_{ij}\) es siempre positivo (es un determinante); el cofactor \(A_{ij}\) puede ser negativo según su posición.
Elegir una fila o columna con pocos ceros. Siempre es más eficiente desarrollar por la fila o columna que tenga más ceros, o introducir ceros previamente con operaciones elementales.
¿Prefieres practicar con la herramienta? La calculadora de determinantes resuelve matrices de cualquier orden con el desarrollo por adjuntos completo.
Comprobación con Sarrus: \((0+(-4)+(-3))-(0+2+(-27))=-7-(-25)=-7+25=18\)… Nótese que al desarrollar por Laplace ya tenemos el valor exacto sin recurrir a Sarrus.
Estrategia: buscar siempre la fila o columna con más ceros para minimizar el número de cofactores a calcular.
¿Quieres practicar con tu propia matriz? La calculadora de determinantes te permite introducir cualquier matriz cuadrada y obtener el resultado con el desarrollo completo paso a paso.