Matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Todo lo que necesitas para calcular la matriz inversa por Gauss-Jordan:

Qué es la matriz inversa y cuándo existe.
Cómo construir la matriz ampliada y aplicar el método paso a paso.
Ejemplos resueltos 2×2 y 3×3 con comprobación.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es la matriz inversa?

Dada una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\), se llama matriz inversa de \(A\) a la matriz \(A^{-1}\) que cumple:

\[A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n\]

donde \(I_n\) es la matriz identidad de orden \(n\). La inversa, cuando existe, es única.

2. ¿Cuándo existe la inversa?

La matriz \(A\) tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero:

\[\det(A) \neq 0 \implies \exists\, A^{-1}\]

Si \(\det(A) = 0\), la matriz se llama singular y no tiene inversa.
Si \(\det(A) \neq 0\), la matriz se llama regular o invertible.

3. El método de Gauss-Jordan

Construir la matriz ampliada \([A \mid I]\), colocando la identidad \(I_n\) a la derecha de \(A\).
Aplicar operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada completa hasta transformar la parte izquierda en la identidad.
Cuando la parte izquierda es \(I\), la parte derecha es \(A^{-1}\).

La idea clave:

\[\left[A \mid I\right] \xrightarrow{\text{operaciones}} \left[I \mid A^{-1}\right]\]

La matriz ampliada genérica para una matriz \(3 \times 3\) tiene la forma:

\[\left[A \mid I\right] = \left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1 \end{array}\right)\]

El proceso tiene tres fases:

Triangularización hacia abajo: anular los elementos por debajo de la diagonal.
Triangularización hacia arriba: anular los elementos por encima de la diagonal.
Normalización: dividir cada fila por su pivote para que la diagonal sea de unos.

Consejo práctico: en la práctica se puede normalizar el pivote antes de eliminar para evitar fracciones acumuladas.

4. Las tres operaciones elementales por filas

El método de Gauss-Jordan solo permite operaciones elementales por filas. Nunca por columnas:

Permutación de filas \(F_i \leftrightarrow F_j\) — útil cuando el pivote en la posición \((i,i)\) es cero.

Multiplicación por escalar \(F_i \to \tfrac{1}{k} \cdot F_i\) con \(k \neq 0\) — para normalizar el pivote a 1.

Combinación lineal \(F_i \to m \cdot F_i + n \cdot F_j\) — para anular elementos fuera de la diagonal.

Aplicadas SIEMPRE a toda la fila Cada operación afecta simultáneamente a la parte izquierda (\(A\)) y a la parte derecha (\(I\)) de \([A \mid I]\).

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5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Matriz 2×2

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\]

Paso 1 — Matriz ampliada

\[\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

Paso 2 — Normalizar F1: \(F_1 \to \tfrac{1}{2}F_1\)

\[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

Paso 3 — Eliminar bajo el pivote: \(F_2 \to F_2 - 5F_1\)

\[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{5}{2} & 1 \end{array}\right)\]

Paso 4 — Normalizar F2: \(F_2 \to 2F_2\)

\[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right)\]

Paso 5 — Eliminar sobre el pivote: \(F_1 \to F_1 - \tfrac{1}{2}F_2\)

\[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right)\]

Resultado

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\]

Comprobación: \(A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I \;\checkmark\)

A⁻¹ = (3, −1; −5, 2)

Ejemplo 2 — Matriz 3×3

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Paso 1 — Matriz ampliada

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

Paso 2 — Triangularizar hacia abajo: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\), \(F_3 \to F_3 + F_1\)

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

Paso 3 — Eliminar F3: \(F_3 \to F_3 - F_2\)

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & -1 & 1 \end{array}\right)\]

Paso 4 — Normalizar F3: \(F_3 \to \tfrac{1}{4}F_3\)

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} \end{array}\right)\]

Paso 5 — Triangularizar hacia arriba: \(F_1 \to F_1 - F_3\), \(F_2 \to F_2 + 2F_3\)

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} \end{array}\right)\]

Resultado

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}\]

Comprobación: \(A \cdot A^{-1} = I_3 \;\checkmark\)

A⁻¹ verificada ✓

6. Errores frecuentes

No comprobar que det(A) ≠ 0 antes de empezar. Si el determinante es cero, la inversa no existe y el proceso fracasa.
Realizar operaciones de columnas. El método solo permite operaciones por filas; las operaciones de columnas alteran la inversa.
Aplicar la operación solo a la parte izquierda. Cada operación debe aplicarse simultáneamente a toda la fila ampliada, incluida la parte derecha.
Cometer errores con fracciones en pasos intermedios. Conviene comprobar cada paso antes de continuar para evitar que un error se propague.
No comprobar el resultado. Siempre verificar que \(A \cdot A^{-1} = I\) para confirmar que la inversa es correcta.

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7. Ejercicios propuestos

Calcula la inversa de cada matriz aplicando el método de Gauss-Jordan. Intenta resolverlo antes de ver la solución.

Ej. 1Matriz 2×2Nivel básico · invertible

Calcula la inversa de la matriz: \[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}\]

Escalonamiento de la matriz ampliada

\[\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cc|cc} 3 & 1 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \underset{F_1 \to \frac{1}{3}F_1}{\sim} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 \\ 7 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \underset{F_2 \to F_2 - 7F_1}{\sim} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{7}{3} & 1 \end{array}\right)\\[8pt] &\underset{F_2 \to -3F_2}{\sim} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 7 & -3 \end{array}\right) \underset{F_1 \to F_1 - \frac{1}{3}F_2}{\sim} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 7 & -3 \end{array}\right) \end{aligned}\]

Resultado

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}\)

Comprobación: \(\begin{pmatrix}3&1\\7&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\7&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \checkmark\)

Ej. 2Matriz 3×3Nivel medio · invertible

Calcula la inversa de la matriz: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Escalonamiento de la matriz ampliada

\[\begin{aligned} &\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \underset{F_3 \to F_3 - 2F_1}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)\\[8pt] &\underset{F_3 \to F_3 + 4F_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 13 & -2 & 4 & 1 \end{array}\right) \underset{F_3 \to \frac{1}{13}F_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{13} & \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13} \end{array}\right)\\[8pt] &\underset{F_2 \to F_2 - 3F_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{6}{13} & \tfrac{1}{13} & -\tfrac{3}{13} \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{13} & \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13} \end{array}\right) \underset{F_1 \to F_1 - 2F_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{13} & -\tfrac{2}{13} & \tfrac{6}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{6}{13} & \tfrac{1}{13} & -\tfrac{3}{13} \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{13} & \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13} \end{array}\right) \end{aligned}\]

Resultado

\(A^{-1} = \dfrac{1}{13}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 6 & 1 & -3 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)

Nota: Verificar siempre que \(A \cdot A^{-1} = I_3\).

Ej. 3Matriz 3×3Nivel medio · singular

Determina si la siguiente matriz tiene inversa y, en caso contrario, justifica por qué: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\]

Escalonamiento

\[\begin{aligned} &\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \underset{\substack{F_2 \to F_2 - 4F_1 \\ F_3 \to F_3 - 7F_1}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & -12 & -7 & 0 & 1 \end{array}\right)\\[8pt] &\underset{F_3 \to F_3 - 2F_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}\]

Conclusión

La tercera fila de la parte izquierda es completamente nula: la parte izquierda no puede transformarse en la identidad. La matriz es singular: \(\text{rg}(A) = 2 < 3\), por lo que \(\det(A) = 0\) y no existe la inversa.

A no tiene inversa (matriz singular)

Ej. 4Matriz 4×4Nivel avanzado · invertible

Calcula la inversa de la matriz: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\]

Escalonamiento de la matriz ampliada

\[\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&1&1&1&0&0&0\\ 1&2&2&2&0&1&0&0\\ 1&2&3&3&0&0&1&0\\ 1&2&3&4&0&0&0&1 \end{array}\right) \underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_3\to F_3-F_1\\F_4\to F_4-F_1}}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&1&1&1&0&0&0\\ 0&1&1&1&-1&1&0&0\\ 0&1&2&2&-1&0&1&0\\ 0&1&2&3&-1&0&0&1 \end{array}\right)\\[8pt] &\underset{\substack{F_3\to F_3-F_2\\F_4\to F_4-F_2}}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&1&1&1&0&0&0\\ 0&1&1&1&-1&1&0&0\\ 0&0&1&1&0&-1&1&0\\ 0&0&1&2&0&-1&0&1 \end{array}\right) \underset{F_4\to F_4-F_3}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&1&1&1&0&0&0\\ 0&1&1&1&-1&1&0&0\\ 0&0&1&1&0&-1&1&0\\ 0&0&0&1&0&0&-1&1 \end{array}\right)\\[8pt] &\underset{F_3\to F_3-F_4}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&1&1&1&0&0&0\\ 0&1&1&1&-1&1&0&0\\ 0&0&1&0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&1&0&0&-1&1 \end{array}\right) \underset{\substack{F_2\to F_2-F_4\\F_1\to F_1-F_4}}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&1&0&1&0&1&-1\\ 0&1&1&0&-1&1&1&-1\\ 0&0&1&0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&1&0&0&-1&1 \end{array}\right)\\[8pt] &\underset{\substack{F_2\to F_2-F_3\\F_1\to F_1-F_3}}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&0&0&1&1&-1&0\\ 0&1&0&0&-1&2&-1&0\\ 0&0&1&0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&1&0&0&-1&1 \end{array}\right) \underset{F_1\to F_1-F_2}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0&2&-1&0&0\\ 0&1&0&0&-1&2&-1&0\\ 0&0&1&0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&1&0&0&-1&1 \end{array}\right) \end{aligned}\]

Resultado

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} 2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&1 \end{pmatrix}\)

Nota: Esta matriz es tridiagonal en su inversa, una propiedad notable de las matrices de Cholesky de este tipo. Verificar que \(A \cdot A^{-1} = I_4\).

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