Inicio›
Sistemas de ecuaciones matriciales
Sistemas de ecuaciones matriciales con dos incógnitas
Todo lo que necesitas para resolver sistemas de ecuaciones matriciales:
- Qué es un sistema de ecuaciones matriciales y cuándo tiene solución única.
- El método de resolución en 4 pasos.
- Cuatro ejemplos resueltos con distintos tipos de coeficientes.
Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato
1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones matriciales?
Es un sistema en el que las incógnitas no son números, sino matrices. En esta página trabajamos con dos incógnitas (normalmente \(X\) e \(Y\)) y dos ecuaciones lineales respecto de ellas. La forma general es:
\[\begin{cases}a_1X+b_1Y=C_1\\a_2X+b_2Y=C_2\end{cases}\]
Los coeficientes \(a_1,b_1,a_2,b_2\) son escalares numéricos, mientras que \(C_1\) y \(C_2\) son matrices conocidas del mismo orden.
Importante: esta herramienta resuelve sistemas con coeficientes escalares (como \(2X-Y=A\)). No resuelve productos del tipo \(AX+BY=C\), donde los coeficientes son matrices.
2. ¿Cuándo tiene solución única?
El sistema posee solución única si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero:
\[\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\neq 0\]
Si \(\Delta=0\), el sistema puede ser incompatible o tener infinitas soluciones, igual que los sistemas numéricos ordinarios.
4. Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 — Suma y diferencia (coeficientes 1 y −1)
\[\begin{cases}X+Y=A\\X-Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&3\\-1&1\end{pmatrix}\]
Determinante
\[\Delta=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1=-2\neq 0\quad\Rightarrow\text{ solución única}\]
Eliminación de Y
Sumando las dos ecuaciones se elimina \(Y\):
\[(X+Y)+(X-Y)=A+B\;\Rightarrow\;2X=A+B\;\Rightarrow\;X=\tfrac{1}{2}(A+B)=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}6&4\\2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix}\]
Obtención de Y
Sustituyendo \(X\) en la primera ecuación:
\[Y=A-X=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix}\]
Solución
\(X=\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix}\)
Ejemplo 2 — Coeficientes escalares distintos
\[\begin{cases}2X-Y=A\\X+3Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}7&-1\\9&1\end{pmatrix}\]
Determinante
\[\Delta=\begin{vmatrix}2&-1\\1&3\end{vmatrix}=6-(-1)=7\neq 0\]
Eliminación de Y
Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando con la segunda:
\[\begin{aligned}3(2X-Y)+(X+3Y)&=3A+B\\7X&=3A+B\\X&=\tfrac{1}{7}\!\left[\begin{pmatrix}0&15\\-9&6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7&-1\\9&1\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{7}\begin{pmatrix}7&14\\0&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\end{aligned}\]
Obtención de Y
\[Y=2X-A=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix}\]
Solución
\(X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix}\)
Ejemplo 3 — Coeficientes enteros más altos
\[\begin{cases}3X-2Y=A\\5X+Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&2\\11&15\end{pmatrix}\]
Determinante
\[\Delta=\begin{vmatrix}3&-2\\5&1\end{vmatrix}=3+10=13\neq 0\]
Eliminación de Y
Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando con la primera:
\[\begin{aligned}(3X-2Y)+2(5X+Y)&=A+2B\\13X&=A+2B\\X&=\tfrac{1}{13}\!\left[\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}4&2\\11&15\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{13}\begin{pmatrix}13&0\\26&39\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\end{aligned}\]
Obtención de Y
\[Y=\tfrac{3X-A}{2}=\tfrac{1}{2}\!\left[\begin{pmatrix}3&0\\6&9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix}\]
Solución
\(X=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix}\)
Ejemplo 4 — Coeficientes fraccionarios y matrices 3×2
\[\begin{cases}\tfrac{1}{2}X+2Y=A\\X-Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\\4&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}\]
Determinante
\[\Delta=\begin{vmatrix}\tfrac{1}{2}&2\\1&-1\end{vmatrix}=-\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{5}{2}\neq 0\]
Eliminación de Y
Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando con la primera:
\[\begin{aligned}\left(\tfrac{1}{2}X+2Y\right)+2(X-Y)&=A+2B\\\tfrac{5}{2}X&=A+2B\\X&=\tfrac{2}{5}\!\left[\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\\4&3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}\right]=\tfrac{2}{5}\begin{pmatrix}5&0\\10&-5\\0&15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix}\end{aligned}\]
Obtención de Y
\[Y=X-B=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\\2&0\end{pmatrix}\]
Solución
\(X=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\\2&0\end{pmatrix}\)