Rango de una matriz con parámetro por el método de Gauss

Todo lo que necesitas para calcular el rango cuando la matriz depende de un parámetro:

Qué es el rango con parámetro y por qué varía.
Cómo escalonar y detectar valores críticos.
Discusión por casos con ejemplos resueltos.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es el rango de una matriz con parámetro?

El rango de una matriz \(A\) es el número de filas no nulas de cualquier forma escalonada equivalente a \(A\). Equivalentemente, es la dimensión del espacio generado por sus filas (o por sus columnas).

Cuando una o varias entradas de la matriz dependen de un parámetro \(\lambda\) (o \(a\), \(k\), \(m\)…), el escalonamiento produce pivotes que son expresiones algebraicas en ese parámetro. Estas expresiones pueden anularse para determinados valores, haciendo que alguna fila se convierta en fila nula y reduciendo el rango.

Por eso el problema no consiste en calcular un único número, sino en realizar una discusión por casos: determinar para qué valores del parámetro el rango es menor que el máximo y qué valor toma en cada situación.

Diferencia con el caso numérico

Cuando todos los coeficientes de la matriz son números, se escalonada la matriz y se cuenta el número de filas no nulas. El resultado es un único número fijo. Con parámetro, al escalonar aparecen pivotes algebraicos que pueden ser nulos, por lo que hay que identificar los valores críticos y analizar el rango en cada caso resultante.

Discusión por casos: el objetivo final no es un número sino una tabla de resultados: para cada grupo de valores del parámetro, ¿cuántas filas no nulas quedan en la forma escalonada?

2. Propiedades básicas del rango

Estas propiedades son válidas independientemente de si la matriz tiene o no parámetros:

Para una matriz \(A\) de orden \(m \times n\), siempre se cumple \(0 \le \text{rg}(A) \le \min(m,n)\).
Las operaciones elementales de fila o columna no alteran el rango: la matriz resultante es equivalente a la original.
Si \(\text{rg}(A) = \min(m,n)\), la matriz tiene rango máximo.
Una fila de ceros no contribuye al rango; una fila no nula sí lo hace.
\(\text{rg}(A) = \text{rg}(A^t)\): el rango de una matriz coincide con el de su traspuesta.

3. El método de Gauss con parámetro

El proceso de escalonamiento es el mismo que en el caso numérico. La diferencia es que al trabajar con coeficientes que dependen del parámetro, los pivotes son expresiones algebraicas en lugar de números fijos.

¿Qué es un pivote algebraico?

Un pivote algebraico es la primera entrada no nula (en sentido general) de cada fila tras el escalonamiento. Por ejemplo, si tras dos operaciones de fila queda una fila de la forma \((0,\ a-3,\ 2a+1)\), el pivote algebraico es \(a-3\).

Este pivote puede anularse si \(a = 3\). En ese caso esa fila deja de tener pivote y el rango disminuye. Ese valor \(a = 3\) es un valor crítico.

¿Qué son los valores críticos?

Un valor crítico del parámetro es cualquier valor que hace nulo un pivote algebraico o anula toda una fila de la forma escalonada. Para esos valores el rango puede ser menor que el máximo posible.

Operaciones elementales de fila

Son las únicas transformaciones permitidas durante el escalonamiento (también pueden usarse operaciones de columna con el mismo efecto sobre el rango):

Intercambio de filas Cambiar de posición dos filas: \(F_i \leftrightarrow F_j\)

Multiplicación por escalar Multiplicar todos los elementos de una fila por un número no nulo: \(F_i \to k \cdot F_i\), con \(k \neq 0\)

Combinación lineal de filas Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras filas: \(F_i \to aF_i + bF_j\), con \(a \neq 0\). Es la operación más usada en el escalonamiento con parámetro.

Precaución con la división: si durante el escalonamiento se divide una fila por una expresión que contiene el parámetro, esa expresión no puede ser cero en ese momento. Eso añade una restricción que hay que tratar como un caso separado.

4. El estudio por casos: procedimiento

Una vez obtenida la forma escalonada con pivotes algebraicos, el estudio por casos sigue estos pasos:

Identificar los valores críticos. Determinar todos los valores del parámetro que anulan algún pivote algebraico o hacen nula una fila completa. Son los únicos valores que pueden reducir el rango respecto al máximo.
Estudiar cada valor crítico por separado. Para cada valor crítico, sustituirlo en la forma escalonada y contar las filas no nulas que quedan. Si al sustituir un valor crítico se anula otro pivote, hay que analizar ese subcaso por separado.
Establecer el caso general. Para todos los valores del parámetro distintos de los críticos, todos los pivotes son no nulos: el rango es el máximo posible (número de filas no nulas de la forma escalonada genérica).
Redactar la conclusión. La respuesta siempre es una discusión completa por casos, indicando el rango para cada grupo de valores del parámetro.

Número de casos: si hay \(k\) expresiones independientes en los pivotes que pueden anularse, hay en general hasta \(k + 1\) casos distintos (los \(k\) valores críticos más el caso general). En la práctica puede haber menos si algún valor crítico anula simultáneamente varios pivotes.

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5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Un valor crítico, el rango baja en 1 (3×4)

\[A=\left(\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 1\\ a-1 & 2 & -1 & 0\\1 & -2 & a+1 & 8\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\begin{aligned}&\left(\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 1\\ a-1 & 2 & -1 & 0\\1 & -2 & a+1 & 8\end{matrix}\right)\underset{C_1\leftrightarrow C_4}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & a-1\\8 & -2 & a+1 & 1\end{matrix}\right)\\[6pt]&\underset{F_3\to F_3-8F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & a-1\\0 & -10 & a+1 & -15\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3+5F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2\\0 & 2 & -1 & a-1\\0 & 0 & a-4 & 5a-20\end{matrix}\right)\end{aligned}\]

Identificación del valor crítico

El único pivote algebraico es \(a-4\) (fila 3). Se anula cuando \(a=4\), haciendo que la fila completa se convierta en \((0,0,0,0)\).

Discusión por casos

Caso \(a = 4\): fila 3 nula → 2 filas no nulas → \(\text{rg}(A) = 2\).

Caso general \(a \neq 4\): 3 pivotes no nulos → 3 filas no nulas → \(\text{rg}(A) = 3\).

\(\text{rg}(A)=2\) si \(a=4\enspace·\enspace\text{rg}(A)=3\) si \(a\neq 4\)

Ejemplo 2 — Dos valores críticos con rangos distintos (3×3, rg = 1, 2 o 3)

Este ejemplo muestra que pueden existir varios valores críticos que producen rangos diferentes.

\[A=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\2 & 2+a & 2+2a\\3 & 3+a & 3+a^2\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\2 & 2+a & 2+2a\\3 & 3+a & 3+a^2\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & a & 2a\\0 & a & a^2\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & a & 2a\\0 & 0 & a^2-2a\end{matrix}\right)\]

La factorización \(a^2-2a=a(a-2)\) muestra los dos pivotes algebraicos: \(a\) (fila 2) y \(a(a-2)\) (fila 3).

Valores críticos

El pivote \(a\) se anula cuando \(a=0\). El pivote \(a(a-2)\) se anula cuando \(a=0\) o \(a=2\). Los valores críticos son \(a=0\) y \(a=2\).

Discusión por casos

Caso \(a = 0\): fila 2 = \((0,0,0)\) y fila 3 = \((0,0,0)\). Solo queda 1 fila no nula → \(\text{rg}(A) = 1\).
Comprobación: para \(a=0\), \(A=\left(\begin{smallmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{smallmatrix}\right)\): todas las filas son proporcionales. ✓

Caso \(a = 2\): fila 2 = \((0,2,4)\neq\mathbf{0}\), fila 3 = \((0,0,0)\). Quedan 2 filas no nulas → \(\text{rg}(A) = 2\).

Caso general \(a \neq 0,\,2\): los tres pivotes son no nulos → \(\text{rg}(A) = 3\).

\(\text{rg}(A)=1\) si \(a=0\enspace·\enspace\text{rg}(A)=2\) si \(a=2\enspace·\enspace\text{rg}(A)=3\) si \(a\neq 0,2\)

Ejemplo 3 — Dos valores críticos simétricos que dan el mismo rango (3×3)

Aquí los dos valores críticos producen la misma reducción de rango, pero por mecanismos distintos.

\[A=\left(\begin{matrix}a & 1 & 0\\1 & a & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

Como \(a\) puede ser cero, se intercambian \(F_1\) y \(F_2\) para asegurar un primer pivote numérico:

\[\left(\begin{matrix}a & 1 & 0\\1 & a & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & a & 0\\a & 1 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-aF_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & a & 0\\0 & 1-a^2 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Factorizando: \(1-a^2=(1-a)(1+a)\). El único pivote algebraico es \((1-a)(1+a)\) (fila 2). El último pivote, \(2\), es siempre constante no nula.

Valores críticos

El pivote \((1-a)(1+a)\) se anula para \(a=1\) y para \(a=-1\).

Discusión por casos

Caso \(a = 1\): fila 2 = \((0,0,0)\), fila 3 = \((0,0,2)\neq\mathbf{0}\). Quedan 2 filas no nulas → \(\text{rg}(A) = 2\).

Caso \(a = -1\): fila 2 = \((0,0,0)\), fila 3 = \((0,0,2)\neq\mathbf{0}\). Quedan 2 filas no nulas → \(\text{rg}(A) = 2\).

Caso general \(a \neq 1,\,-1\): los tres pivotes son no nulos → \(\text{rg}(A) = 3\).

\(\text{rg}(A)=2\) si \(a\in\{1,-1\}\enspace·\enspace\text{rg}(A)=3\) si \(a\notin\{1,-1\}\)

6. Errores frecuentes

Olvidar estudiar los valores críticos. Concluir el rango máximo sin comprobar si algún pivote algebraico puede anularse es el error más habitual. Siempre hay que identificar todos los valores que anulan un pivote.
Confundir caso particular con caso general. El caso general es "el parámetro no toma ningún valor crítico". Un único valor aislado (aunque parezca el más natural) no es el caso general.
Perder signos al operar con expresiones algebraicas. Con parámetros, los errores de signo se propagan de forma menos visible que con números. Conviene desarrollar y simplificar cada expresión antes de continuar.
Dividir por una expresión que podría ser cero. Si durante el escalonamiento se multiplica o divide una fila por una expresión del parámetro, esa expresión no puede anularse. Hay que separar el caso en que sí se anula y tratarlo por separado.
No contemplar subcasos. Al sustituir un valor crítico puede ocurrir que otro pivote también se anule, generando un subcaso con rango aún menor. Hay que verificarlo siempre.
Dar el rango antes de terminar el escalonamiento. El rango solo se puede concluir cuando la forma escalonada está completamente obtenida. Contar filas no nulas a mitad del proceso conduce a errores.

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7. Ejercicios propuestos

Calcula el rango según los valores del parámetro. Escalonada la matriz y analiza cada caso.

Ej. 1Parámetro aNivel medio · tres casos

Discute el rango de la matriz según los valores de \(a\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & a & a\\1 & a & a^2\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & a-1 & a-1\\0 & a-1 & a^2-1\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & a-1 & a-1\\0 & 0 & a^2-a\end{matrix}\right)\] Donde \(a^2-a=a(a-1)\).

Casos

Si \(a=1\): fila 2 y fila 3 se anulan \(\Rightarrow \text{rg}(A)=1\)
Si \(a=0\): fila 2 \(=(0,-1,-1)\neq\mathbf{0}\), fila 3 \(=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\)
Si \(a\neq 0\) y \(a\neq 1\): tres pivotes \(\Rightarrow \text{rg}(A)=3\)

rg = 1 si a=1 · rg = 2 si a=0 · rg = 3 si a≠0,1

Ej. 2Parámetro kNivel básico · dos casos

Discute el rango de la matriz según los valores de \(k\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & k\\0 & k & 1\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento (intercambio previo de F₂ y F₃)

\[\underset{F_2\leftrightarrow F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & k\\0 & 1 & 1\\0 & k & 1\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-kF_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & k\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1-k\end{matrix}\right)\]

Casos

Si \(k=1\): fila 3 se anula \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\)
Si \(k\neq 1\): tres pivotes \(\Rightarrow \text{rg}(A)=3\)

rg = 2 si k=1 · rg = 3 si k≠1

Ej. 3Parámetro aNivel medio · tres valores críticos

Discute el rango de la matriz según los valores de \(a\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & a & 0\\a & 1 & 0\\0 & 0 & a\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{F_2\to F_2-aF_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & a & 0\\0 & 1-a^2 & 0\\0 & 0 & a\end{matrix}\right)\] Donde \(1-a^2=(1-a)(1+a)\).

Casos

Si \(a=0\): fila 2 \(=(0,1,0)\neq\mathbf{0}\), fila 3 \(=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\)
Si \(a=1\): fila 2 \(=\mathbf{0}\), fila 3 \(=(0,0,1)\neq\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\)
Si \(a=-1\): fila 2 \(=\mathbf{0}\), fila 3 \(=(0,0,-1)\neq\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\)
Si \(a\neq 0,1,-1\): tres pivotes \(\Rightarrow \text{rg}(A)=3\)

rg = 2 si a∈{0,1,−1} · rg = 3 si a∉{0,1,−1}

Ej. 4Parámetro mNivel medio · dos valores críticos

Discute el rango de la matriz según los valores de \(m\): \[A=\left(\begin{matrix}2 & m & 0\\1 & 2 & 0\\0 & 0 & m-2\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento (intercambio previo de F₁ y F₂)

\[\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0\\2 & m & 0\\0 & 0 & m-2\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0\\0 & m-4 & 0\\0 & 0 & m-2\end{matrix}\right)\]

Pivotes con parámetro: \(m-4\) en la fila 2 y \(m-2\) en la fila 3.

Casos

Si \(m=4\): fila 2 \(=\mathbf{0}\), fila 3 \(=(0,0,2)\neq\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\).
Si \(m=2\): fila 2 \(=(0,-2,0)\neq\mathbf{0}\), fila 3 \(=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\).
Si \(m\neq 2,4\): tres pivotes \(\Rightarrow \text{rg}(A)=3\).

rg = 2 si m∈{2,4} · rg = 3 si m∉{2,4}

Ej. 5Parámetro mNivel medio-alto · tres rangos posibles

Discute el rango de la matriz según los valores de \(m\): \[A=\left(\begin{matrix}m & 1 & 1\\1 & m & 1\\1 & 1 & m\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento (intercambio previo de F₁ y F₂)

\[\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\m & 1 & 1\\1 & 1 & m\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-mF_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\0 & 1-m^2 & 1-m\\0 & 1-m & m-1\end{matrix}\right)\] donde \(1-m^2=(1-m)(1+m)\). Para \(m\neq 1\) se puede dividir \(F_2\) y \(F_3\) por \((1-m)\neq 0\): \[\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\0 & 1+m & 1\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right)\underset{F_3\to(1+m)F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & m & 1\\0 & 1+m & 1\\0 & 0 & -(m+2)\end{matrix}\right)\]

Casos

Si \(m=1\): \(F_2=\mathbf{0}\) y \(F_3=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=1\).
Si \(m=-2\): \(F_2=(0,-1,1)\neq\mathbf{0}\) y \(F_3=\mathbf{0}\) \(\Rightarrow \text{rg}(A)=2\).
Si \(m\neq 1,-2\): tres pivotes \(\Rightarrow \text{rg}(A)=3\).

rg = 1 si m=1 · rg = 2 si m=−2 · rg = 3 si m≠1,−2

Verificación para m=1: todas las filas de \(A\) son iguales a \((1,1,1)\), por lo que solo hay una fila linealmente independiente → \(\text{rg}(A)=1\). ✓

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