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Rango de una matriz con parámetro por el método de los menores

Todo lo que necesitas para dominar el rango con parámetro por menores:

  1. Qué es el rango con parámetro y cómo varía según el valor del parámetro.
  2. Cómo identificar los valores críticos usando el método de los menores.
  3. Discusión completa por casos con ejemplos resueltos paso a paso.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es el rango de una matriz con parámetro?

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que puede extraerse de ella, es decir, el tamaño de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante no es cero. En términos equivalentes, coincide con el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.

Cuando la matriz contiene un parámetro (una letra que representa un valor desconocido), el rango puede variar dependiendo del valor que adopte ese parámetro. Algunos valores concretos pueden hacer que filas que en general son independientes se vuelvan proporcionales o combinaciones lineales entre sí, reduciendo el rango. A esos valores especiales se los denomina valores críticos.

El objetivo del estudio con parámetro es identificar exactamente para qué valores del parámetro ocurre este fenómeno y determinar cuál es el rango en cada caso. El resultado es siempre una discusión por casos: un caso general (la mayoría de los valores) y uno o varios casos críticos.

Ejemplo de variación del rango: Si una matriz 3×3 con parámetro \(t\) tiene determinante \(t(t-5)\), el rango será 3 para cualquier \(t \neq 0, 5\), pero puede bajar a 2 (o incluso a 1) cuando \(t = 0\) o \(t = 5\). Hay que estudiar cada caso por separado.

2. Propiedades del rango

Estas propiedades son válidas para cualquier matriz, con o sin parámetro:

Cota superior Para una matriz de orden \(m \times n\), se cumple siempre \(0 \leq \operatorname{rg}(A) \leq \min(m,n)\).
Existencia de menor no nulo Si existe un menor de orden \(k\) no nulo, entonces \(\operatorname{rg}(A) \geq k\). Si todos los menores de orden \(k+1\) son nulos, entonces \(\operatorname{rg}(A) \leq k\).
Invarianza por operaciones elementales El rango no cambia al aplicar operaciones elementales de fila o de columna (intercambio, multiplicación por escalar no nulo, combinación lineal).
Rango y transpuesta El rango de una matriz y el de su transpuesta coinciden: \(\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^t)\).
Matriz cuadrada regular Si la matriz es cuadrada de orden \(n\), tiene rango \(n\) si y solo si su determinante es distinto de cero.
Fila o columna nula Si la matriz tiene una fila o columna completamente nula, el rango es inferior al número de filas o columnas totales.

3. El método de los menores con parámetro

¿Qué es un menor de orden \(k\)?

Un menor de orden \(k\) de una matriz \(A\) es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden \(k\) obtenida eligiendo \(k\) filas y \(k\) columnas de \(A\). Se denota como:

\[M_{i_1\ldots i_k}^{j_1\ldots j_k}=\left|\begin{matrix}a_{i_1 j_1}&\cdots&a_{i_1 j_k}\\\vdots&&\vdots\\a_{i_k j_1}&\cdots&a_{i_k j_k}\end{matrix}\right|\]

El menor es no nulo si su valor es distinto de cero. El máximo orden en el que existe al menos un menor no nulo define exactamente el rango de la matriz.

Criterio del rango por menores

El rango de la matriz \(A\) es \(r\) si y solo si se cumplen simultáneamente:

  1. Existe al menos un menor de orden \(r\) no nulo.
  2. Todos los menores de orden \(r+1\) son nulos (o bien \(r = \min(m,n)\), es decir, ya no hay menores de orden mayor).

Truco práctico: No hace falta comprobar todos los menores de orden \(r+1\). Basta con verificar que todos los menores obtenidos ampliando el menor de orden \(r\) ya encontrado son nulos.

Por qué el parámetro complica el análisis

Cuando la matriz contiene un parámetro, los menores son expresiones algebraicas en ese parámetro (polinomios o fracciones). Un menor que en general no es nulo puede anularse para valores concretos del parámetro. Por eso no se puede concluir directamente el rango: hay que analizar cuándo esos menores se anulan y estudiar los casos resultantes.

4. El estudio por casos: procedimiento

  1. Menores de orden máximo. Se calculan los menores de orden máximo posible \(\min(m,n)\) y se igualan a cero. Las soluciones de esas ecuaciones son los candidatos a valores críticos.
  2. Identificar los valores críticos reales. Un valor crítico genuino es aquel que anula todos los menores de orden máximo simultáneamente. Los valores que solo anulan alguno de ellos pero no todos no son críticos: para esos valores el rango sigue siendo máximo. El conjunto de valores que no son críticos forma el caso general.
  3. Estudio de cada caso crítico. Para cada valor crítico, se sustituye en la matriz y se aplica el método de los menores para matrices numéricas: se busca el mayor orden en el que exista un menor no nulo.
  4. Resumen. Se presenta la discusión completa indicando el rango para el caso general y para cada caso crítico.

Importante: Los valores críticos son raíces de polinomios en el parámetro, por lo que su número es siempre finito. El rango en los casos críticos es estrictamente menor que en el caso general: los valores críticos son precisamente aquellos en los que el rango baja.

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de rango con parámetro (menores) te permite introducir tu propia matriz, calcular los menores de forma manual o automática y obtener la discusión completa por casos.

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5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Candidatos no críticos y un único valor crítico (3×4)

\[A=\left(\begin{matrix}t & 1 & 0 & t-1\\2 & 1 & 1 & 2\\0 & 3 & t & 2\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Menores de orden máximo (orden 3)

La matriz es \(3\times4\), orden máximo = 3. Calculamos dos menores de orden 3:

\[\begin{aligned} &M_1=\left|\begin{matrix}t&1&0\\2&1&1\\0&3&t\end{matrix}\right|=t^2-5t\\[10pt] &M_2=\left|\begin{matrix}1&0&t-1\\1&1&2\\3&t&2\end{matrix}\right|=t^2-6t+5=(t-1)(t-5) \end{aligned}\]

Paso 2 — Identificar el valor crítico genuino

Igualamos a cero: \(M_1=0\Rightarrow t=0\) ó \(t=5\); \(M_2=0\Rightarrow t=1\) ó \(t=5\).

Solo \(t=5\) anula ambos (y todos los demás menores de orden 3). Los valores \(t=0\) y \(t=1\) son candidatos falsos: anulan un menor pero no todos. Por ejemplo \(M_2(0)=5\neq0\), así que para \(t=0\) el rango sigue siendo 3.

Paso 3 — Caso crítico \(t=5\)

\[A\big|_{t=5}=\left(\begin{matrix}5&1&0&4\\2&1&1&2\\0&3&5&2\end{matrix}\right)\]

Todos los menores de orden 3 son nulos. Buscamos orden 2:

\[\left|\begin{matrix}1&0\\1&1\end{matrix}\right|=1\neq0\quad\checkmark\]
Caso \(t=5\): \(\operatorname{rg}(A)=2\).
Caso general \(t\neq5\): \(\operatorname{rg}(A)=3\).
\(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(t\neq5\enspace·\enspace\operatorname{rg}(A)=2\) si \(t=5\)

Ejemplo 2 — Dos valores críticos con rangos distintos (3×3, rg = 1, 2 o 3)

Este ejemplo muestra que puede haber varios valores críticos y que cada uno puede dar un rango diferente.

\[A=\left(\begin{matrix}t & 1 & 1\\1 & t & 1\\1 & 1 & t\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Determinante (único menor de orden 3)

\[|A|=t(t^2-1)-1(t-1)+1(1-t)=t^3-3t+2=(t-1)^2(t+2)\]

El determinante es nulo cuando \(t=1\) (raíz doble) o \(t=-2\).

Paso 2 — Caso crítico \(t=1\)

\[A\big|_{t=1}=\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\]

Todas las filas son iguales. Todos los menores de orden 2 son nulos (por ejemplo \(\left|\begin{smallmatrix}1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right|=0\)). Existe un elemento no nulo, luego \(\operatorname{rg}(A)=1\).

Paso 3 — Caso crítico \(t=-2\)

\[A\big|_{t=-2}=\left(\begin{matrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{matrix}\right)\]

Obsérvese que la suma de cada fila es cero (\(-2+1+1=0\)), lo que implica dependencia lineal. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

\[\left|\begin{matrix}-2&1\\1&-2\end{matrix}\right|=4-1=3\neq0\quad\checkmark\]

Existe un menor de orden 2 no nulo, luego \(\operatorname{rg}(A)=2\).

Caso \(t=1\): \(\operatorname{rg}(A)=1\).
Caso \(t=-2\): \(\operatorname{rg}(A)=2\).
Caso general \(t\neq1,-2\): \(\operatorname{rg}(A)=3\).
\(\operatorname{rg}(A)=1\) si \(t=1\enspace·\enspace\operatorname{rg}(A)=2\) si \(t=-2\enspace·\enspace\operatorname{rg}(A)=3\) si \(t\neq1,-2\)

Ejemplo 3 — Matriz 4×3: varios menores de orden 3 y un único valor crítico

En matrices con más filas que columnas hay múltiples menores de orden máximo. El valor crítico es el que los anula todos simultáneamente.

\[A=\left(\begin{matrix}1&0&1\\2&1&3\\4&1&5\\3&1&4\end{matrix}\right)\]

La matriz es \(4\times3\), orden máximo = 3. Hay \(\binom{4}{3}=4\) menores posibles de orden 3 (combinaciones de 3 filas de las 4). Calculamos todos:

Paso 1 — Cuatro menores de orden 3

\[\begin{aligned} M_{123}&=\left|\begin{matrix}1&0&1\\2&1&3\\4&1&5\end{matrix}\right|=5+0+2-4-3-0=0\\[8pt] M_{124}&=\left|\begin{matrix}1&0&1\\2&1&3\\3&1&4\end{matrix}\right|=4+0+2-3-3-0=0\\[8pt] M_{134}&=\left|\begin{matrix}1&0&1\\4&1&5\\3&1&4\end{matrix}\right|=4+0+4-3-5-0=0\\[8pt] M_{234}&=\left|\begin{matrix}2&1&3\\4&1&5\\3&1&4\end{matrix}\right|=2(4-5)-1(16-15)+3(4-3)=-2-1+3=0 \end{aligned}\]

Todos los menores de orden 3 son nulos para esta matriz numérica: el rango es estrictamente menor que 3.

Paso 2 — Menor de orden 2 no nulo

\[\left|\begin{matrix}1&0\\2&1\end{matrix}\right|=1\neq0\quad\checkmark\]
\(\operatorname{rg}(A)=2\)

Nota: este ejemplo es numérico (sin parámetro), pero ilustra perfectamente el proceso de comprobación de todos los menores de orden máximo que se aplica cuando hay parámetro. Con parámetro, el análisis sería: igualar cada \(M_{ijk}\) a cero y buscar el valor que los anula todos.

6. Errores frecuentes

¿Prefieres practicar con la herramienta? La calculadora te permite introducir tu propia matriz con parámetro y obtener la discusión del rango mediante menores de forma manual o automática.

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7. Ejercicios propuestos

Discute el rango según el parámetro usando el método de los menores. Busca primero un menor no nulo de orden bajo y estudia cuándo se anulan los menores de orden superior.

Ej. 1Parámetro tNivel medio · tres valores críticos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(t\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & t\\0 & t & 1\\t & 0 & 1\end{matrix}\right)\]

Determinante de orden 3

Desarrollando por la primera columna: \[|A|=1\cdot(t\cdot1-1\cdot0)-0+t\cdot(0\cdot1-t\cdot t)=t-t^3=t(1-t^2)=t(1-t)(1+t)\] \(|A|=0\) cuando \(t=0\), \(t=1\) o \(t=-1\).

Menores de orden 2 en los casos críticos

  • Si \(t=0\): la matriz queda \(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\). Las filas 2 y 3 son iguales. El menor \(\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0\) → \(\operatorname{rg}(A)=2\).
  • Si \(t=1\): la matriz queda \(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\). Las filas 1 y 3 son iguales. El menor \(\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq 0\) → \(\operatorname{rg}(A)=2\).
  • Si \(t=-1\): la matriz queda \(\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}\). Fila 1 + fila 3 = \(\mathbf{0}\). El menor \(\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1\neq 0\) → \(\operatorname{rg}(A)=2\).
\(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(t\in\{0,1,-1\}\) · \(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(t\notin\{0,1,-1\}\)
Ej. 2Parámetro tNivel medio · dos valores críticos
Discute el rango de la matriz según los valores de \(t\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & t\\2 & 1 & 1\\t & 2 & 1\end{matrix}\right)\]

Determinante de orden 3

\[|A|=1(1-2)-2(2-t)+t(4-t)=-1-4+2t+4t-t^2=-t^2+6t-5=-(t-1)(t-5)\] \(|A|=0\) cuando \(t=1\) o \(t=5\).

Rango en los casos críticos

Para \(t=1\) y para \(t=5\), el menor \(\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=1-4=-3\neq 0\), así que \(\operatorname{rg}(A)\geq 2\). Como el determinante es nulo, \(\operatorname{rg}(A)<3\). Por tanto \(\operatorname{rg}(A)=2\). \(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(t\neq 1,5\) · \(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(t=1\) o \(t=5\)
Ej. 3Parámetro kNivel básico · matriz triangular
Discute el rango de la matriz según los valores de \(k\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\0 & k & 1\\0 & 0 & k-2\end{matrix}\right)\]

La matriz es triangular superior

Su determinante es el producto de los elementos de la diagonal: \[|A|=1\cdot k\cdot(k-2)=k(k-2)\] \(|A|=0\) cuando \(k=0\) o \(k=2\).

Casos

  • Si \(k=0\): fila 2 \(=(0,0,1)\neq\mathbf{0}\) y el menor \(\begin{vmatrix}2&3\\0&1\end{vmatrix}=2\neq 0\) → \(\operatorname{rg}=2\).
  • Si \(k=2\): fila 3 \(=(0,0,0)\), fila 2 \(=(0,2,1)\neq\mathbf{0}\) → \(\operatorname{rg}=2\).
  • Si \(k\neq 0,2\): \(|A|\neq 0\) → \(\operatorname{rg}=3\).
\(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(k\neq 0,2\) · \(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(k=0\) o \(k=2\)
Atajo: En matrices triangulares, el determinante es el producto de la diagonal. Si algún elemento diagonal se anula, el determinante es cero.
Ej. 4Parámetro aNivel medio · matriz 2×4
Discute el rango de la matriz según los valores de \(a\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & a\\3 & a & 1 & 0\end{matrix}\right)\]

Rango máximo posible

La matriz es \(2\times 4\), así que \(\operatorname{rg}(A)\leq 2\).

Menor de orden 2

Columnas 1 y 3: \(\begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix}=1\neq 0\) para todo valor de \(a\). Por tanto \(\operatorname{rg}(A)\geq 2\) siempre. \(\operatorname{rg}(A)=2\) para todo valor de \(a\)
Observación: Cuando el rango mínimo garantizado ya coincide con el máximo posible (\(\min(m,n)\)), no hace falta buscar más menores. La discusión se reduce a un único caso.
Ej. 5Parámetro mNivel alto · matriz 4×3
Discute el rango de la matriz según los valores de \(m\): \[A=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & m & 1\\m & 1 & 1\\1 & 1 & m\end{matrix}\right)\]

Rango máximo posible

La matriz es \(4\times 3\), así que \(\operatorname{rg}(A)\leq 3\).

Menor de orden 2

El menor formado por las filas 1 y 2, columnas 1 y 2: \(\begin{vmatrix}1&1\\1&m\end{vmatrix}=m-1\). Es no nulo cuando \(m\neq 1\), así que para \(m\neq 1\) el rango es al menos 2.

Menores de orden 3 (filas 1, 2, 3)

\[\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\m&1&1\end{vmatrix}=m-m^2-1-1+1+m=2m-m^2-1=-(m-1)^2\] Este menor es nulo exactamente cuando \(m=1\).

Otro menor de orden 3 (filas 1, 2, 4)

\[\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{vmatrix}=m^2+1+1-m-1-m=m^2-2m+1=(m-1)^2\] También nulo cuando \(m=1\).

Caso m=1

Para \(m=1\) todas las filas son \((1,1,1)\) → \(\operatorname{rg}(A)=1\).

Caso m≠1

Los menores de orden 3 calculados valen \(-(m-1)^2\) y \((m-1)^2\), ambos distintos de cero para \(m\neq 1\). Basta con encontrar uno no nulo para garantizar \(\operatorname{rg}(A)\geq 3\). Como el máximo posible en una matriz \(4\times 3\) es 3, concluimos \(\operatorname{rg}(A)=3\). \(\operatorname{rg}(A)=1\) si \(m=1\) · \(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(m\neq 1\)

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