Rango de una matriz por el método de Gauss

Todo lo que necesitas para calcular el rango de una matriz por Gauss:

Qué es el rango y cómo se interpreta.
Operaciones elementales por filas y forma escalonada.
Ejemplo resuelto y ejercicios con solución.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es el rango de una matriz?

El rango de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es el mayor número de filas (o columnas) linealmente independientes que contiene. Se denota \(\text{rg}(A)\) o \(\text{rang}(A)\), y cumple siempre:

\[0\;\leq\;\text{rg}(A)\;\leq\;\min(m,n)\]

Dos o más filas son linealmente dependientes cuando una puede expresarse como combinación lineal de las demás. En la práctica, el rango coincide con el número de filas no nulas que aparecen al escalonar la matriz; cada una de esas filas contiene un pivote (primer elemento distinto de cero de la fila), y el número de pivotes es exactamente el rango.

Idea fundamental: las operaciones elementales por filas —permutar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar un múltiplo de una fila a otra— no modifican el rango. Por eso, la forma escalonada obtenida por Gauss tiene exactamente el mismo rango que la matriz original, y podemos leer el rango directamente contando sus filas no nulas.

El rango puede calcularse también mediante el método de los menores (buscando el mayor menor no nulo). Ambos métodos dan siempre el mismo resultado.

2. Propiedades del rango

Las propiedades más importantes del rango son:

Cota superior. Para toda matriz \(A_{m\times n}\): \(\text{rg}(A)\leq\min(m,n)\). El rango nunca puede superar ni el número de filas ni el de columnas.
Rango por filas = rango por columnas. \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)\). El número de filas independientes coincide con el número de columnas independientes.
Rango 0. Solo la matriz nula (todos sus elementos son cero) tiene rango 0. Cualquier otra matriz tiene rango al menos 1.
Rango máximo (rango completo). Una matriz \(m\times n\) tiene rango máximo cuando \(\text{rg}(A)=\min(m,n)\).
Matriz cuadrada. Una matriz cuadrada \(n\times n\) tiene rango máximo si y solo si su determinante es distinto de cero: \(\text{rg}(A)=n\Longleftrightarrow\det(A)\neq 0\).

3. Operaciones elementales por filas

El método de Gauss consiste en transformar la matriz en una forma escalonada aplicando operaciones elementales por filas. Estas operaciones no cambian el rango de la matriz:

Intercambio de filas Cambiar de posición dos filas: \(F_i \leftrightarrow F_j\)

Multiplicación por escalar no nulo Multiplicar todos los elementos de una fila por un número no nulo: \(F_i \to k \cdot F_i\)

Combinación lineal de filas Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras filas: \(F_i \to aF_i + bF_j\), con \(a\neq 0\).

Una matriz está en forma escalonada cuando el primer elemento no nulo de cada fila (el pivote) está estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila anterior, y las filas nulas (si las hay) se encuentran al final.

Ejemplo de escalonamiento

\[ \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ -3 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right) \underset{F_2\to 2F_2+3F_1}{\sim} \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right) \underset{F_3\to F_3-F_1}{\sim} \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 4 & -4 & -7 \end{matrix} \right) \underset{F_3\to 7F_3+4F_2}{\sim} \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 0 & 36 & 7 \end{matrix} \right) \]

La forma escalonada tiene 3 filas no nulas, luego \(\text{rg}(A)=3\).

4. El método paso a paso

Escribe la matriz con todos sus elementos, respetando el orden de filas y columnas.
Escalona la matriz aplicando operaciones elementales por filas hasta obtener la forma escalonada. Si conviene, intercambia filas para que la primera fila no empiece en cero.
Cuenta las filas no nulas de la forma escalonada obtenida. Ese número es el rango de la matriz.

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de rango por Gauss te permite introducir tu propia matriz, aplicar las operaciones paso a paso y obtener el resultado automáticamente.

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5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Escalonamiento estándar (3×4, rg = 3)

\[A=\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ -3 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right)\]

Escalonamiento

\[\begin{aligned} &\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ -3 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right) \underset{F_2\to 2F_2+3F_1}{\sim} \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{matrix} \right) \underset{F_3\to F_3-F_1}{\sim} \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 4 & -4 & -7 \end{matrix} \right)\\[8pt] &\underset{F_3\to 7F_3+4F_2}{\sim} \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 4 & 2 \\ 0 & -7 & 16 & 14 \\ 0 & 0 & 36 & 7 \end{matrix} \right) \end{aligned}\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 3 filas no nulas.

rg(A) = 3

Ejemplo 2 — Intercambio de filas (primer pivote = 0)

\[A=\left(\begin{matrix}0 & 2 & -4\\1 & -1 & 2\\3 & 1 & 0\end{matrix}\right)\]

El elemento \(a_{11}=0\) no puede ser pivote. Se intercambia \(F_1\) con una fila que tenga un elemento no nulo en la primera columna.

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}0 & 2 & -4\\1 & -1 & 2\\3 & 1 & 0\end{matrix}\right)\underset{F_1\leftrightarrow F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\0 & 2 & -4\\3 & 1 & 0\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-3F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\0 & 2 & -4\\0 & 4 & -6\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-2F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\0 & 2 & -4\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 3 filas no nulas.

rg(A) = 3

Ejemplo 3 — Filas dependientes (rango menor que el máximo)

\[A=\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2 & 0\\2 & 0 & 1 & 3\\1 & 1 & -1 & 3\end{matrix}\right)\]

La matriz es 3×4, así que el rango máximo posible es 3. Sin embargo, las filas no son independientes entre sí.

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2 & 0\\2 & 0 & 1 & 3\\1 & 1 & -1 & 3\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2 & 0\\0 & 2 & -3 & 3\\0 & 2 & -3 & 3\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2 & 0\\0 & 2 & -3 & 3\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

\(F_3\) era combinación lineal de \(F_1\) y \(F_2\): la tercera fila se convierte en nula. La forma escalonada tiene solo 2 filas no nulas.

rg(A) = 2 < 3 = máximo posible

Ejemplo 4 — Fila de ceros en la matriz original

\[A=\left(\begin{matrix}2 & 1 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\4 & -1 & 2 & 1\end{matrix}\right)\]

La fila 2 ya es nula. Se opera sobre la fila 3 para escalonar y luego se reordenan.

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}2 & 1 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\4 & -1 & 2 & 1\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}2 & 1 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & -3 & 8 & 1\end{matrix}\right)\underset{F_2\leftrightarrow F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}2 & 1 & -3 & 0\\0 & -3 & 8 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La fila nula queda al final tras el intercambio. La forma escalonada tiene 2 filas no nulas.

rg(A) = 2

Ejemplo 5 — Rango máximo en 4×4 (rg = 4)

\[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2\\2 & 1 & 0 & 1\\1 & 2 & 3 & 0\\0 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\begin{aligned} \left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2\\2 & 1 & 0 & 1\\1 & 2 & 3 & 0\\0 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right) &\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim} \left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2\\0 & 1 & -2 & -3\\0 & 2 & 2 & -2\\0 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right) \underset{\substack{F_3\to F_3-2F_2\\F_4\to F_4-F_2}}{\sim} \left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2\\0 & 1 & -2 & -3\\0 & 0 & 6 & 4\\0 & 0 & 4 & 6\end{matrix}\right)\\[8pt] &\underset{3F_4\to 3F_4-2F_3}{\sim} \left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2\\0 & 1 & -2 & -3\\0 & 0 & 6 & 4\\0 & 0 & 0 & 10\end{matrix}\right) \end{aligned}\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 4 filas no nulas: el rango alcanza el máximo posible para una matriz 4×4.

rg(A) = 4

6. Errores frecuentes

Confundir rango con determinante. El determinante solo existe para matrices cuadradas; el rango se puede calcular en cualquier matriz.
Cometer errores de signo en las combinaciones lineales. Conviene escribir cada operación completa antes de calcular.
Olvidar que el coeficiente de la propia fila debe ser no nulo. En \(F_i \to aF_i + bF_j\), el coeficiente \(a\) no puede ser cero.
Confundir el pivote de cada fila. El pivote es el primer elemento distinto de cero de la fila en la forma escalonada, no necesariamente el mayor.
Concluir el rango antes de terminar el escalonamiento. Hay que llevar la matriz a la forma escalonada completa antes de contar las filas no nulas.
No intercambiar filas cuando es necesario. Si el primer elemento de la primera fila es cero, hay que intercambiarla con otra que tenga un elemento no nulo en esa posición.

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7. Ejercicios propuestos

Calcula el rango de cada matriz aplicando el método de Gauss. Intenta resolverlo antes de ver la solución.

Ej. 1Matriz 3×3Nivel básico · rg = 3

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 3 & 0\\-1 & 1 & -3\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 3 & 0\\-1 & 1 & -3\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3+F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\\0 & 3 & -4\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3+3F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 3 filas no nulas.

rg(A) = 3

Nota: Una matriz cuadrada 3×3 tiene rango máximo (3) cuando su determinante es distinto de cero.

Ej. 2Matriz 3×4Nivel medio · rg = 2

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1\\3 & 6 & 0 & 3\\2 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-3F_1\\F_3\to F_3-2F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & -3 & -1 & -2\end{matrix}\right)\underset{F_2\leftrightarrow F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1\\0 & -3 & -1 & -2\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La segunda fila original era proporcional a la primera \((F_2=3F_1)\). La forma escalonada tiene 2 filas no nulas.

rg(A) = 2

Ej. 3Matriz 4×3Nivel medio · rg = 2

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\4 & 1 & 5\\3 & 1 & 4\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-4F_1\\F_4\to F_4-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_3\to F_3-F_2\\F_4\to F_4-F_2}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Las filas 3 y 4 resultan ser combinaciones lineales de las anteriores. Solo hay 2 filas no nulas.

rg(A) = 2

Ej. 4Matriz 3×3Nivel básico · rg = 1

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\\3 & 6 & 9\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Las filas 2 y 3 son múltiplos de la primera. Solo queda 1 fila no nula.

rg(A) = 1

Recuerda: rg = 1 implica que todas las filas son proporcionales entre sí (o alguna es nula).

Ej. 5Matriz 2×3Nivel básico · rg = 2

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -2 & 3\\0 & 5 & -7\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 2 filas no nulas.

rg(A) = 2

Nota: En una matriz 2×3 el rango máximo es 2 (el menor de las dos dimensiones).

Ej. 6Matriz 2×4Nivel básico · rg = 1

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}3 & -6 & 9 & 12\\-2 & 4 & -6 & -8\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

Las dos filas son proporcionales (\(F_2=-\tfrac{2}{3}F_1\)). Aplicando \(3F_2\to 3F_2+2F_1\): \[\left(\begin{matrix}3 & -6 & 9 & 12\\-2 & 4 & -6 & -8\end{matrix}\right)\underset{3F_2\to 3F_2+2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}3 & -6 & 9 & 12\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Solo hay 1 fila no nula.

rg(A) = 1

Ej. 7Matriz 3×3Nivel medio · rg = 2

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\2 & 1 & 1\\4 & -1 & 5\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\2 & 1 & 1\\4 & -1 & 5\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-4F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\0 & 3 & -3\\0 & 3 & -3\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & -1 & 2\\0 & 3 & -3\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

La tercera fila es combinación lineal de las anteriores: \(F_3=2F_1+F_2\). Solo hay 2 filas no nulas.

rg(A) = 2

Ej. 8Matriz 4×4Nivel medio · rg = 3

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\2 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\begin{aligned}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\2 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right) &\underset{F_4\to F_4-2F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 1 & -1 & -1\end{matrix}\right) \underset{F_4\to F_4-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & -1 & -3\end{matrix}\right)\\[8pt] &\underset{F_4\to F_4+F_3}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\end{aligned}\]

Conclusión

La cuarta fila es combinación lineal de las tres primeras. La forma escalonada tiene 3 filas no nulas.

rg(A) = 3

Ej. 9Matriz 4×4Nivel medio · rg = 2

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 3\\2 & 4 & 3 & 8\\1 & 2 & 2 & 5\\3 & 6 & 4 & 11\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-F_1\\F_4\to F_4-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 & 2\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_3\to F_3-F_2\\F_4\to F_4-F_2}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Conclusión

Las filas 2, 3 y 4 resultan idénticas tras el primer paso. Solo quedan 2 filas no nulas.

rg(A) = 2

Ej. 10Matriz 4×3Nivel avanzado · rg = 3

Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 1 & 1\\-1 & 1 & -2\\3 & 4 & 0\end{matrix}\right)\]

Escalonamiento

\[\begin{aligned}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\2 & 1 & 1\\-1 & 1 & -2\\3 & 4 & 0\end{matrix}\right) &\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3+F_1\\F_4\to F_4-3F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -3 & 3\\0 & 3 & -3\\0 & -2 & 3\end{matrix}\right) \underset{\substack{F_3\to F_3+F_2\\3F_4\to 3F_4-2F_2}}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -3 & 3\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right)\\[8pt] &\underset{F_3\leftrightarrow F_4}{\sim}\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\0 & -3 & 3\\0 & 0 & 3\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\end{aligned}\]

Conclusión

La forma escalonada tiene 3 filas no nulas, que es el máximo posible para una matriz 4×3.

rg(A) = 3

Nota: Una matriz 4×3 no puede tener rango mayor que 3, el mínimo entre sus dos dimensiones.

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