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Sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro: método de Gauss

Todo lo que necesitas para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro por el método de Gauss:

  1. Cómo encontrar los valores críticos del parámetro.
  2. Cómo clasificar el sistema en cada caso (SCD, SCI o incompatible).
  3. Ejemplos resueltos completos con discusión y solución.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones con un parámetro?

Un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro es un sistema en el que uno o varios coeficientes, o algún término independiente, dependen de una variable simbólica —generalmente llamada \(a\), \(k\), \(m\)…— que puede tomar cualquier valor real o racional.

Dado que el parámetro aparece en la matriz ampliada, la clasificación del sistema (compatible determinado, indeterminado o incompatible) puede cambiar según el valor que tome el parámetro. Por eso, el objetivo no es únicamente resolver el sistema, sino discutirlo: determinar para qué valores del parámetro el sistema pertenece a cada tipo y, en los casos compatibles, calcular la solución.

Un sistema con parámetro tiene la misma forma general que cualquier sistema lineal:

\[ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ &\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned}\right. \]

con la diferencia de que algunos \(a_{ij}\) o \(b_i\) son expresiones que dependen del parámetro.

Ejemplo: en el sistema \(\left\{\begin{aligned}x+ay&=2\\ax+y&=2\end{aligned}\right.\), el coeficiente \(a\) aparece tanto en la primera como en la segunda ecuación. Si \(a=1\) el sistema tiene infinitas soluciones; si \(a=-1\) no tiene ninguna; para cualquier otro valor de \(a\) existe exactamente una solución.

2. Tipos de sistemas según el valor del parámetro

Como en cualquier sistema lineal, el resultado siempre es uno de estos tres tipos. La diferencia es que cada valor del parámetro puede situar al sistema en un tipo distinto, lo que obliga a estudiar todos los casos posibles.

Compatible determinado (SCD) Exactamente una solución. En la forma escalonada, el número de filas no nulas coincide con el número de incógnitas.
Compatible indeterminado (SCI) Infinitas soluciones. El número de filas no nulas es menor que el de incógnitas.
Incompatible (SI) Ninguna solución. Aparece una fila de la forma \((0\;\cdots\;0 \mid b)\) con \(b \neq 0\).

La discusión completa del sistema consiste en determinar qué tipo corresponde a cada valor posible del parámetro y expresar la solución cuando la haya.

3. Los valores críticos del parámetro

Al escalonar la matriz ampliada de un sistema con parámetro, en algún momento aparecerán pivotes que son expresiones en el parámetro. Cuando uno de esos pivotes se anula para un cierto valor del parámetro, la estructura del sistema cambia: una fila que normalmente aporta un pivote pasa a ser nula o imposible.

Se llaman valores críticos a los valores del parámetro que anulan al menos uno de esos pivotes. Son precisamente los valores que hay que estudiar por separado, pues en ellos el tipo del sistema puede diferir del caso general.

Cómo se obtienen: tras escalonar, se igualan a cero todas las expresiones en el parámetro que aparezcan en posiciones de pivote. Cada raíz de esas ecuaciones es un valor crítico.

Una vez identificados los valores críticos, el método requiere estudiar tres tipos de casos:

Cada valor crítico obtenido directamente Se sustituye en la matriz escalonada ya calculada. Aparece una fila nula o imposible que cambia la clasificación.
Valores críticos generados durante el escalonamiento Si el coeficiente de combinación lineal dependía del parámetro y se anuló, hay que volver a escalonar desde la matriz original con ese valor sustituido.
Caso general Cualquier valor del parámetro distinto de todos los críticos. Se usa directamente la forma escalonada general, donde todos los pivotes son no nulos.

4. El método paso a paso

  1. Escribir la matriz ampliada \((A\,|\,b)\). Se construye igual que en cualquier sistema, colocando 0 donde una incógnita no aparezca. Si el parámetro aparece en los coeficientes, se opera con él como si fuera un número.
  2. Escalonar mediante operaciones elementales por filas. Las tres operaciones permitidas son: intercambio de filas \((F_i \leftrightarrow F_j)\), multiplicación por escalar no nulo \((F_i \to k\cdot F_i)\) y combinación lineal de filas \((F_i \to \alpha F_i + \beta F_j)\). Si en algún paso el coeficiente de la combinación lineal depende del parámetro, hay que anotar los valores que lo anulan para estudiarlos por separado. Si conviene, se pueden intercambiar columnas de incógnitas para facilitar el escalonamiento, pero hay que registrar el cambio; nunca se puede mover la columna de términos independientes.
  3. Localizar los pivotes que dependen del parámetro. Igualando a cero cada pivote expresado en el parámetro se obtienen los valores críticos. Cada uno de ellos puede cambiar la clasificación del sistema.
  4. Estudiar cada caso por separado. Para los valores críticos, se sustituye el parámetro y se reclasifica el sistema (a veces hay que recalcular la forma escalonada desde el principio). Para el caso general (parámetro distinto de todos los críticos) se usa la forma escalonada ya obtenida.
  5. Resolver los casos compatibles por sustitución regresiva. Si el sistema es SCD se obtiene una única solución; si es SCI se expresan las infinitas soluciones con \(n - r\) parámetros libres, donde \(n\) es el número de incógnitas y \(r\) el número de filas no nulas.

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de sistemas con parámetro te permite introducir tu propio sistema, seguir el escalonamiento paso a paso y obtener la discusión y la solución para cada caso.

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5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Sistema 2×2 con parámetro \(k\)

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(k\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} x + ky &= 2 \\ kx + y &= 2 \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Escalonamiento

Aplicamos \(F_2 \to F_2 - kF_1\):

\[ \left(\begin{matrix}1&k\\k&1\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right) \underset{F_2\to F_2-kF_1}{\sim} \left(\begin{matrix}1&k\\0&1-k^2\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2-2k\end{matrix}\right) \]

Donde \(1-k^2 = (1-k)(1+k)\) y \(2-2k = 2(1-k)\).

Paso 2 — Valores críticos

\[1 - k^2 = 0 \;\Rightarrow\; k = 1 \quad \text{o} \quad k = -1\]

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(k = 1\)

La fila 2 queda \((0,\;0 \mid 0)\): sistema compatible indeterminado con 1 parámetro libre.

La única ecuación que permanece es \(x + y = 2\). Con \(y = \lambda\):

Infinitas soluciones: \(x = 2 - \lambda,\quad y = \lambda\quad(\lambda\in\mathbb{R})\)

Para \(k = -1\)

La fila 2 queda \((0,\;0 \mid 4)\): sistema incompatible.

El sistema no tiene solución

Para \(k \neq 1\) y \(k \neq -1\) — caso general

El pivote \(1-k^2 \neq 0\). Sistema compatible determinado.

\[ y = \frac{2(1-k)}{(1-k)(1+k)} = \frac{2}{1+k} \qquad x = 2 - k\cdot\frac{2}{1+k} = \frac{2+2k-2k}{1+k} = \frac{2}{1+k} \]
Solución única: \(x = \dfrac{2}{1+k},\quad y = \dfrac{2}{1+k}\)

Ejemplo 2 — Sistema 3×3 con parámetro \(a\)

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(a\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} 2x_1 + ax_2 - 3x_3 &= 1 \\ -3x_1 + 2x_2 + ax_3 &= 2 \\ -x_1 + 5x_2 \phantom{{}+ax_3} &= 3 \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Escalonamiento de la matriz ampliada

Aplicamos \(F_2 \to 2F_2 + 3F_1\) y después \(F_3 \to 2F_3 + F_1\) para eliminar la primera columna:

\[ \left(\begin{matrix}2&a&-3\\-3&2&a\\-1&5&0\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right) \underset{F_2\to 2F_2+3F_1}{\sim} \left(\begin{matrix}2&a&-3\\0&3a+4&2a-9\\-1&5&0\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\7\\3\end{matrix}\right) \underset{F_3\to 2F_3+F_1}{\sim} \left(\begin{matrix}2&a&-3\\0&3a+4&2a-9\\0&a+10&-3\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\7\\7\end{matrix}\right) \]

Intercambiamos \(F_2 \leftrightarrow F_3\) e intercambiamos las columnas de \(x_2\) y \(x_3\) \((C_2 \leftrightarrow C_3)\) para facilitar el escalonamiento:

\[ \underset{F_2\leftrightarrow F_3}{\sim} \left(\begin{matrix}2&a&-3\\0&a+10&-3\\0&3a+4&2a-9\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\7\\7\end{matrix}\right) \underset{C_2\leftrightarrow C_3}{\approx} \left(\begin{matrix}2&-3&a\\0&-3&a+10\\0&2a-9&3a+4\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\7\\7\end{matrix}\right) \begin{matrix}\phantom{X}\\x_1,\,x_3,\,x_2\end{matrix} \]

Eliminamos el término \((3,2)\) con \(F_3 \to 3F_3 + (2a-9)F_2\):

\[ \underset{F_3\to 3F_3+(2a-9)F_2}{\sim} \left(\begin{matrix}2&-3&a\\0&-3&a+10\\0&0&2a^2+20a-78\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\7\\14a-42\end{matrix}\right) \begin{matrix}\phantom{X}\\x_1,\,x_3,\,x_2\end{matrix} \]

Paso 2 — Valores críticos

Igualamos a cero el pivote que depende de \(a\):

\[ 2a^2 + 20a - 78 = 0 \;\Rightarrow\; a^2 + 10a - 39 = 0 \;\Rightarrow\; (a-3)(a+13) = 0 \;\Rightarrow\; a = 3 \quad \text{o} \quad a = -13 \]

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(a = 3\)

El pivote \(2a^2+20a-78 = 0\) y el término independiente \(14(3)-42 = 0\), luego la tercera fila queda \((0,0,0\mid 0)\). Hay 2 filas no nulas y 3 incógnitas: sistema compatible indeterminado con 1 parámetro libre.

\[ \left(\begin{matrix}2&-3&3\\0&-3&13\\0&0&0\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\7\\0\end{matrix}\right) \quad x_1,\,x_3,\,x_2 \]

Tomamos \(x_2 = t\) como parámetro libre. De la fila 2: \(-3x_3 + 13t = 7 \Rightarrow x_3 = \dfrac{13t-7}{3}\). De la fila 1: \(2x_1 = 1 + 3x_3 - 3t = 10t - 6 \Rightarrow x_1 = 5t - 3\).

Infinitas soluciones: \(x_1 = 5t-3,\quad x_2 = t,\quad x_3 = \dfrac{13t-7}{3}\quad(t\in\mathbb{R})\)

Para \(a = -13\)

El pivote se anula, pero el término independiente \(14(-13)-42 = -224 \neq 0\). La tercera fila queda \((0,0,0\mid -224)\): sistema incompatible.

\[ \left(\begin{matrix}2&-3&-13\\0&-3&-3\\0&0&0\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}1\\7\\-224\end{matrix}\right) \]
El sistema no tiene solución

Para \(a \neq 3\) y \(a \neq -13\) — caso general

El pivote \(2a^2+20a-78 \neq 0\). Hay 3 filas no nulas y 3 incógnitas: sistema compatible determinado.

Sustitución regresiva (recordando que la columna 2 es \(x_3\) y la 3 es \(x_2\) tras el intercambio):

\[ x_2 = \frac{14a-42}{2a^2+20a-78} = \frac{14(a-3)}{2(a-3)(a+13)} = \frac{7}{a+13} \]
\[ x_3 = \frac{7 - (a+10)\cdot\dfrac{7}{a+13}}{-3} = \frac{7\cdot\dfrac{3}{a+13}}{3} = \frac{-7}{a+13} \]
\[ x_1 = \frac{1 + 3x_3 - a\cdot x_2}{2} = \frac{1 - \dfrac{21}{a+13} - \dfrac{7a}{a+13}}{2} = \frac{-3a-4}{a+13} \]
Solución única: \(x_1 = \dfrac{-3a-4}{a+13},\quad x_2 = \dfrac{7}{a+13},\quad x_3 = \dfrac{-7}{a+13}\)

Ejemplo 3 — Sistema 4×3 con parámetro \(a\)

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(a\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} x - y + az &= 2 \\ (a-1)x + y + z &= 1 \\ x - 5y + z &= 4 \\ -3y + az &= 3 \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Escalonamiento de la matriz ampliada

Eliminamos la primera columna con \(F_2 \to F_2 - (a-1)F_1\) y \(F_3 \to F_3 - F_1\):

\[ \left(\begin{matrix}1&-1&a\\a-1&1&1\\1&-5&1\\0&-3&a\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\1\\4\\3\end{matrix}\right) \underset{\substack{F_2\to F_2-(a-1)F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim} \left(\begin{matrix}1&-1&a\\0&a&1+a-a^2\\0&-4&1-a\\0&-3&a\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\3-2a\\2\\3\end{matrix}\right) \]

Intercambiamos \(F_2 \leftrightarrow F_3\) para tener un pivote numérico en la segunda columna, y luego eliminamos esa columna de \(F_3\) y \(F_4\) con \(F_3 \to 4F_3 + aF_2\) y \(F_4 \to 4F_4 - 3F_2\):

\[ \underset{F_2\leftrightarrow F_3}{\sim} \left(\begin{matrix}1&-1&a\\0&-4&1-a\\0&a&1+a-a^2\\0&-3&a\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2\\3-2a\\3\end{matrix}\right) \underset{\substack{F_3\to 4F_3+aF_2\\F_4\to 4F_4-3F_2}}{\sim} \left(\begin{matrix}1&-1&a\\0&-4&1-a\\0&0&4+5a-5a^2\\0&0&7a-3\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2\\12-6a\\6\end{matrix}\right) \]

Intercambiamos \(F_3 \leftrightarrow F_4\) para colocar el pivote lineal antes del cuadrático:

\[ \underset{F_3\leftrightarrow F_4}{\sim} \left(\begin{matrix}1&-1&a\\0&-4&1-a\\0&0&7a-3\\0&0&4+5a-5a^2\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2\\6\\12-6a\end{matrix}\right) \]

Paso 2 — Valores críticos

El pivote de \(F_3\) depende de \(a\): igualándolo a cero obtenemos el primer valor crítico:

\[7a - 3 = 0 \;\Rightarrow\; a = \tfrac{3}{7}\]

Para \(a \neq \tfrac{3}{7}\), eliminamos la tercera columna de \(F_4\) con \(F_4 \to (7a-3)F_4 - (4+5a-5a^2)F_3\):

\[ \text{rhs de }F_4 = (7a-3)(12-6a) - 6(4+5a-5a^2) = -42a^2+102a-36 - 24-30a+30a^2 = -12a^2+72a-60 = -12(a-1)(a-5) \]
\[ \left(\begin{matrix}1&-1&a\\0&-4&1-a\\0&0&7a-3\\0&0&0\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2\\6\\-12(a-1)(a-5)\end{matrix}\right) \]

La última fila aporta otros dos valores críticos: \(a = 1\) y \(a = 5\).

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(a = \tfrac{3}{7}\)

\(F_3\) se convierte en \((0,0,0\mid 6)\): ecuación imposible. Sistema incompatible.

El sistema no tiene solución

Para \(a = 1\)

La última fila queda \((0,0,0\mid 0)\) y \(F_3 = (0,0,4\mid 6)\). Hay 3 filas no nulas y 3 incógnitas: sistema compatible determinado.

\[ \left(\begin{matrix}1&-1&1\\0&-4&0\\0&0&4\\0&0&0\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2\\6\\0\end{matrix}\right) \]

Sustitución regresiva: \(z = \tfrac{6}{4} = \tfrac{3}{2}\); \(-4y = 2 \Rightarrow y = -\tfrac{1}{2}\); \(x + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} = 2 \Rightarrow x = 0\).

Solución única: \(x = 0,\quad y = -\tfrac{1}{2},\quad z = \tfrac{3}{2}\)

Para \(a = 5\)

La última fila queda \((0,0,0\mid 0)\) y \(F_3 = (0,0,32\mid 6)\). Hay 3 filas no nulas y 3 incógnitas: sistema compatible determinado.

\[ \left(\begin{matrix}1&-1&5\\0&-4&-4\\0&0&32\\0&0&0\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}2\\2\\6\\0\end{matrix}\right) \]

Sustitución regresiva: \(z = \tfrac{6}{32} = \tfrac{3}{16}\); \(-4y - \tfrac{3}{4} = 2 \Rightarrow y = -\tfrac{11}{16}\); \(x + \tfrac{11}{16} + \tfrac{15}{16} = 2 \Rightarrow x = \tfrac{3}{8}\).

Solución única: \(x = \tfrac{3}{8},\quad y = -\tfrac{11}{16},\quad z = \tfrac{3}{16}\)

Para \(a \neq \tfrac{3}{7}\), \(a \neq 1\) y \(a \neq 5\) — caso general

La última fila es \((0,0,0\mid -12(a-1)(a-5))\) con término independiente distinto de cero: sistema incompatible.

El sistema no tiene solución

6. Errores frecuentes

7. Ejercicios propuestos

Discute la compatibilidad del sistema según el parámetro y, cuando tenga solución, exprésala.

Ej. 1Sistema 2×2 · parámetro aSCD / SCI / SI
Discute y resuelve según el valor de \(a\): \[\left\{\begin{aligned}x+ay&=2\\ax+y&=2\end{aligned}\right.\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)\underset{F_2\to F_2-aF_1}{\sim}\left(\begin{matrix}1&a\\0&1-a^2\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\2-2a\end{matrix}\right)\] Donde \(1-a^2=(1-a)(1+a)\) y \(2-2a=2(1-a)\). Valores críticos: \(a=1\) y \(a=-1\).

Casos

  • Si \(a=1\): fila 2 → \((0,0\mid 0)\) → SCI. De \(x+y=2\), con \(y=\lambda\): \(x=2-\lambda,\;y=\lambda\quad(\lambda\in\mathbb{R})\).
  • Si \(a=-1\): fila 2 → \((0,0\mid 4)\) → SI. Sin solución.
  • Si \(a\neq\pm1\): \(y=\dfrac{2(1-a)}{(1-a)(1+a)}=\dfrac{2}{1+a}\), \(x=\dfrac{2}{1+a}\) → SCD.
SCD si a ≠ ±1 · solución única x = y = 2/(1+a) SCI si a = 1 · solución x = 2−λ, y = λ SI si a = −1
Ej. 2Sistema 3×3 · parámetro kSCD / SI
Discute y resuelve según el valor de \(k\): \[\left\{\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+ky+z&=2\\x+y+kz&=1\end{aligned}\right.\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{matrix}\middle|\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&k-1&0\\0&0&k-1\end{matrix}\middle|\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right)\] Valor crítico: \(k-1=0\Rightarrow k=1\).

Casos

  • Si \(k=1\): fila 2 → \((0,0,0\mid 1)\) → SI. Sin solución.
  • Si \(k\neq 1\): de fila 3, \(z=0\); de fila 2, \(y=\dfrac{1}{k-1}\); de fila 1, \(x=1-y=\dfrac{k-2}{k-1}\) → SCD.
SCD si k ≠ 1 · x = (k−2)/(k−1), y = 1/(k−1), z = 0 SI si k = 1
Ej. 3Sistema 3×3 · parámetro aSCD / SCI
Discute y resuelve según el valor de \(a\): \[\left\{\begin{aligned}x+y+z&=2\\x+2y+az&=3\\x+y+(a-1)z&=a\end{aligned}\right.\]

Escalonamiento

\[\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&2&a\\1&1&a-1\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\3\\a\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1&1&1\\0&1&a-1\\0&0&a-2\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\1\\a-2\end{matrix}\right)\] Valor crítico: \(a-2=0\Rightarrow a=2\).

Casos

  • Si \(a=2\): fila 3 → \((0,0,0\mid 0)\) → SCI con 1 parámetro libre.
    Con \(z=\lambda\): de fila 2, \(y=1-(a-1)\lambda=1-\lambda\); de fila 1, \(x=2-y-z=1\).
  • Si \(a\neq 2\): \(z=\dfrac{a-2}{a-2}=1\); \(y=1-(a-1)=2-a\); \(x=2-y-z=2-(2-a)-1=a-1\) → SCD.
SCD si a ≠ 2 · x = a−1, y = 2−a, z = 1 SCI si a = 2 · x = 1, y = 1−λ, z = λ (λ∈ℝ)

¿Quieres practicar con tus propios sistemas? La calculadora de sistemas con parámetro te permite introducir cualquier sistema con coeficientes numéricos o racionales, seguir el escalonamiento paso a paso y verificar la clasificación y la solución para cada valor del parámetro.

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