La matriz de coeficientes \(A\) recoge únicamente los coeficientes de las incógnitas. La matriz ampliada \((A\,|\,b)\) añade como última columna los términos independientes, separados por una barra vertical.
Importante: si una incógnita no aparece en una ecuación, su coeficiente es 0, no se omite. El orden de las incógnitas debe ser el mismo en todas las filas.
Ejemplo
\[
\left\{\begin{aligned}
2x + y - z &= 3 \\
x - 2y + 3z &= 1 \\
x + y + z &= 2
\end{aligned}\right.
\]
El rango de una matriz \(M\) de orden \(m \times p\) es el mayor entero \(r\) tal que existe al menos un menor de orden \(r\) distinto de cero. Se denota \(\operatorname{rg}(M)\).
Un menor de orden \(k\) de la matriz \(M\) es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de tamaño \(k \times k\) obtenida al considerar \(k\) filas y \(k\) columnas de esa matriz (es decir, eliminando de la matriz las filas y columnas que no se consideran).
El algoritmo para calcular el rango es el siguiente:
Determinar el orden máximo posible: \(r_{\max} = \min(m, p)\), donde \(m\) es el número de filas y \(p\) el de columnas de la matriz.
Calcular menores de orden \(r_{\max}\). Si alguno es distinto de cero, el rango es \(r_{\max}\) y el proceso termina.
Si todos los menores de orden \(r_{\max}\) son nulos, bajar al orden \(r_{\max}-1\) y repetir el cálculo.
Continuar bajando de orden hasta encontrar al menos un menor distinto de cero. Ese orden es el rango de la matriz.
Caso extremo: si todos los elementos de la matriz son cero, el rango es 0.
Consejo práctico: conviene empezar por el menor de mayor orden posible. Si la matriz es cuadrada, basta calcular su determinante. Solo si es nulo hay que explorar menores de orden inferior, buscando uno que no sea cero.
El determinante de \(B\) es nulo porque \(F_2 = 2F_1\), así que \(\operatorname{rg}(B) < 3\). Bajamos a orden 2 y buscamos un menor no nulo. Tomamos las filas 1 y 3, columnas 1 y 2:
El teorema de Rouché-Frobenius establece la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución, y determina cuántas soluciones tiene.
Para ello se comparan los rangos de las dos matrices: la matriz de coeficientes \(A\) y la matriz ampliada \((A\,|\,b)\).
La formulación precisa del teorema es la siguiente:
\[
\text{El sistema es compatible} \iff \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A\,|\,b)
\]
Siendo \(n\) el número de incógnitas del sistema, los tres casos posibles son:
Incompatible
\(\operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A\,|\,b)\). No existe ningún conjunto de valores que satisfaga todas las ecuaciones a la vez.
Compatible determinado
\(\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A\,|\,b) = n\). El sistema tiene exactamente una solución.
Compatible indeterminado
\(\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A\,|\,b) < n\). El sistema tiene infinitas soluciones, que dependen de \(n - \operatorname{rg}(A)\) parámetros libres.
Nota: siempre se cumple \(\operatorname{rg}(A) \leq \operatorname{rg}(A\,|\,b)\), porque \((A\,|\,b)\) tiene al menos todas las columnas de \(A\). La única cuestión es si la columna de términos independientes aumenta o no el rango en una unidad.
4. Clasificación completa
Con los rangos calculados y siendo \(n\) el número de incógnitas, la clasificación del sistema queda resumida en la siguiente tabla:
\(\operatorname{rg}(A) = r\)
\(\operatorname{rg}(A\,|\,b) = r'\)
Comparación con \(n\) = nº de incógnitas
Tipo de sistema
\(r\)
\(r' = r+1\)
—
Incompatible (I)
\(r\)
\(r' = r\)
\(r = n\)
Compatible Determinado (CD)
\(r\)
\(r' = r\)
\(r < n\)
Compatible Indeterminado (CI)
En el caso Compatible Indeterminado, el número de parámetros libres es \(n - r\), es decir, la diferencia entre el número de incógnitas y el rango común de ambas matrices.
5. La regla de Cramer
La regla de Cramer es un método de resolución que se aplica a sistemas cuadrados (\(m = n\), mismo número de ecuaciones que de incógnitas) que además son compatibles determinados. En estos sistemas \(\det(A) \neq 0\), lo que garantiza que existe una única solución, y la regla permite calcularla directamente sin escalonar.
La idea es construir, para cada incógnita \(x_i\), una matriz \(A_i\) a partir de \(A\), y expresar la solución como un cociente de determinantes:
\[
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad i = 1, 2, \ldots, n
\]
donde \(A_i\) es la matriz que se obtiene al sustituir la columna \(i\)-ésima de \(A\) por el vector de términos independientes \(b\):
Sistema Compatible Indeterminado: Cramer con parámetros
Cuando el sistema es Compatible Indeterminado con rango \(r < n\), se tienen \(n - r\) incógnitas libres. El procedimiento es:
Asignar parámetros a las \(n - r\) incógnitas libres: \(x_{j_1} = t_1,\; x_{j_2} = t_2, \ldots\)
Seleccionar un subsistema cuadrado de orden \(r \times r\) formado por las \(r\) incógnitas no libres, con determinante distinto de cero.
Aplicar Cramer al subsistema, trasladando los términos con los parámetros al lado derecho.
Expresar la solución general en función de los parámetros \(t_1, t_2, \ldots \in \mathbb{R}\).
Importante: el subsistema cuadrado que se elige para aplicar Cramer debe estar formado por ecuaciones linealmente independientes. En la práctica, basta tomar las ecuaciones correspondientes al menor de orden \(r\) que resultó distinto de cero al calcular el rango.
Ejemplo — Compatible Indeterminado
Sistema \(3\times 3\) con \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\,|\,b)=2 < 3=n\):
Escribir las matrices \(A\) y \((A\,|\,b)\) del sistema, respetando el orden de las incógnitas y colocando 0 donde falte algún coeficiente.
Calcular \(\operatorname{rg}(A)\) mediante menores: empezar por el orden máximo \(\min(m,n)\) y bajar si todos los menores de ese orden son nulos.
Calcular \(\operatorname{rg}(A\,|\,b)\) del mismo modo, ahora sobre la matriz ampliada de orden \(m \times (n+1)\).
Aplicar el teorema de Rouché-Frobenius comparando los dos rangos con \(n\):
Incompatible si \(\operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A\,|\,b)\). No hay solución.
Compatible determinado si \(\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A\,|\,b) = n\). Hay exactamente una solución.
Compatible indeterminado si \(\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A\,|\,b) = r < n\). Hay infinitas soluciones con \(n - r\) parámetros libres.
Resolver con la regla de Cramer si el sistema es compatible: para CD, aplicar Cramer directamente; para CI, fijar los parámetros libres y aplicar Cramer al subsistema cuadrado de rango \(r\).
¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de Rouché-Frobenius te permite introducir tu propio sistema, calcular los rangos automáticamente y obtener la clasificación y la solución paso a paso.
Como \(\det(A) \neq 0\), se tiene \(\operatorname{rg}(A) = 2\).
Paso 3 — Calcular rg(A|b)
Como \(\operatorname{rg}(A) = 2\) y la matriz ampliada tiene solo 2 filas, su rango no puede superar 2. Basta verificar que el menor de orden 2 de \(A\) ya es distinto de cero, luego \(\operatorname{rg}(A\,|\,b) = 2\).
Pero este es un menor de \((A\,|\,b)\) de orden 2 con columnas de \(A\). No aumenta el rango. Comprobamos que todos los menores de orden 3 de \((A\,|\,b)\) son nulos (porque \(F_2 = 2F_1\) en toda la matriz ampliada, al ser \(b_2 = 2b_1\)). Por tanto \(\operatorname{rg}(A\,|\,b) = 2\).
Existe un menor de orden 2 no nulo, por tanto \(\operatorname{rg}(A\,|\,b) = 2\).
Paso 4 — Clasificación
\(\operatorname{rg}(A) = 1 \neq 2 = \operatorname{rg}(A\,|\,b)\) → Sistema Incompatible.
El sistema no tiene solución
10. Errores frecuentes
Confundir rg(A) con rg(A|b). Son dos matrices distintas y sus rangos pueden ser iguales o pueden diferir en una unidad. Siempre hay que calcular ambos por separado.
Calcular menores de la matriz incorrecta. Para obtener el rango de \(A\) se trabaja sobre \(A\); para el de \((A\,|\,b)\) se trabaja sobre la matriz ampliada completa, incluyendo la columna de términos independientes.
Olvidar fijar parámetros antes de aplicar Cramer en el caso indeterminado. En un sistema CI con \(n - r\) incógnitas libres, es imprescindible asignarles parámetros y trasladar sus términos al miembro derecho antes de aplicar Cramer al subsistema cuadrado.
Elegir para Cramer un subsistema con ecuaciones dependientes. Si las ecuaciones elegidas son combinación lineal unas de otras, el determinante del subsistema será nulo y Cramer no se podrá aplicar. Hay que usar el menor de orden \(r\) que resultó distinto de cero al calcular el rango.
Error de signo en el cálculo de determinantes. Al desarrollar un determinante por una fila o columna, el signo del cofactor es \((-1)^{i+j}\). Un signo errado da una solución incorrecta aunque el proceso sea formalmente correcto.
11. Ejercicios propuestos
Dos ejercicios de cada tipo para practicar el método completo.
Ej. 1Compatible determinadoSistema 2×2
Clasifica y resuelve el sistema:
\[\left\{\begin{aligned}2x+y&=5\\x-y&=1\end{aligned}\right.\]
\[\det(A_1) = \begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix} = 6(1-2)-1(-3-2)+1(6+2) = -6+5+8 = 7\]
\[\det(A_2) = \begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix} = 1(-3-2)-6(-2-1)+1(4-3) = -5+18+1 = 14\]
\[\det(A_3) = \begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix} = 1(-2-6)-1(4-3)+6(4+1) = -8-1+30 = 21\]
\[x = \frac{7}{7}=1,\qquad y = \frac{14}{7}=2,\qquad z = \frac{21}{7}=3\]
Solución única: x = 1, y = 2, z = 3
Ej. 3Compatible indeterminadoSistema 2×2
Clasifica y resuelve el sistema:
\[\left\{\begin{aligned}x+2y&=4\\2x+4y&=8\end{aligned}\right.\]
Matrices y rangos
\[\det(A) = \begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix} = 4-4 = 0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A) \leq 1\]
Como \(a_{11} = 1 \neq 0\), \(\operatorname{rg}(A) = 1\). La segunda ecuación es múltiplo de la primera también en \((A\,|\,b)\), luego \(\operatorname{rg}(A\,|\,b) = 1\).
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