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Sistemas de ecuaciones con un parámetro: teorema de Rouché-Frobenius

Todo lo que necesitas para discutir y resolver sistemas con un parámetro usando el teorema de Rouché-Frobenius:

  1. Cómo calcular los rangos de \(A\) y \((A\,|\,b)\) con el parámetro presente.
  2. Cómo encontrar los valores críticos e identificar el tipo de sistema en cada caso.
  3. Ejemplos resueltos completos con discusión, tabla de rangos y solución.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones con un parámetro?

Un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro es un sistema en el que uno o varios coeficientes, o algún término independiente, dependen de una variable simbólica —generalmente llamada \(a\), \(k\) o \(\lambda\)— que puede tomar cualquier valor real.

Dado un sistema con \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas, se trabaja con tres objetos en paralelo:

\[ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ &\vdots \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned}\right. \]

Sistema

\[A = \begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\]

Matriz de coeficientes A (m×n)

\[(A\,|\,b) = \left(\begin{matrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{matrix}\,\middle|\,\begin{matrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{matrix}\right)\]

Matriz ampliada (A|b) (m×(n+1))

Dado que el parámetro aparece en la matriz de coeficientes \(A\) o en la matriz ampliada \((A\,|\,b)\), el rango de estas matrices varía según el valor del parámetro, y con él cambia la clasificación del sistema. El objetivo no es solo resolver el sistema para un valor concreto, sino discutirlo: determinar para qué valores del parámetro el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible, y dar la solución en los casos en que exista.

Ejemplo: en el sistema \(\left\{\begin{aligned}x+y&=1\\ax+y&=a\end{aligned}\right.\).

Si \(a=1\) ambas ecuaciones son iguales y hay infinitas soluciones: \((x=1-t,\; y=t)\) con \(t\in\mathbb{R}\).

Para \(a\neq 1\) el sistema tiene solución única \((x=1,\; y=0)\).

El tipo depende del valor del parámetro \(a\).

¿Por qué usar el método de Rouché-Frobenius?

A diferencia del método de Gauss —que escala la matriz operando fila a fila—, el método de Rouché-Frobenius clasifica el sistema comparando rangos calculados mediante determinantes de menores. Esto lo hace especialmente cómodo cuando el parámetro aparece en varios coeficientes a la vez, ya que el determinante de la matriz de coeficientes es una expresión polinómica en el parámetro que se puede factorizar con facilidad.

2. El teorema de Rouché-Frobenius

El teorema de Rouché-Frobenius relaciona el tipo del sistema con los rangos de la matriz de coeficientes \(A\) y de la matriz ampliada \((A\,|\,b)\), comparándolos con el número de incógnitas \(n\):

\(\operatorname{rg}(A) = r\) \(\operatorname{rg}(A\,|\,b) = r'\) Comparación con \(n\) = nº de incógnitas Tipo de sistema
\(r\) \(r' = r+1\) — Incompatible (SI)
\(r\) \(r' = r\) \(r = n\) Compatible Determinado (SCD)
\(r\) \(r' = r\) \(r < n\) Compatible Indeterminado (SCI)

De forma compacta:

\[ \text{El sistema es compatible} \iff \text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) \]

Cuando el sistema es compatible, el número de grados de libertad (parámetros libres en la solución) es \(n - \text{rg}(A)\). Si vale 0, la solución es única; si es positivo, hay infinitas soluciones.

Cómo se calcula el rango con el parámetro presente

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Con un parámetro, los menores son polinomios en ese parámetro. La estrategia es:

1. Menor de orden máximo de \(A\) Se calcula \(\det(A)\) (si \(A\) es cuadrada) o el determinante del mayor menor cuadrado posible. Igualar a cero da los valores críticos.
2. Rango de \(A\) en cada caso Si el determinante del menor de orden máximo es no nulo, el rango es máximo. Si es nulo, se busca un menor de orden inferior no nulo para determinar el rango exacto.
3. Rango de \((A\,|\,b)\) Se repite el proceso añadiendo la columna de términos independientes. Un menor de orden \(r+1\) no nulo en la ampliada (cuando \(A\) tiene rango \(r\)) delata la incompatibilidad.

3. Los valores críticos del parámetro

Se llaman valores críticos a los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes (o de su mayor menor cuadrado). Son los únicos valores para los que el rango puede bajar respecto al caso general, alterando la clasificación del sistema.

Cómo se obtienen:

a) Cuando el sistema es cuadrado (nº de ecuaciones = nº de incógnitas), los valores críticos son las raíces de la ecuación que resulta al igualar a cero el determinante de \(A\).

b) Si \(A\) no es cuadrada, se igualan a cero todos los menores de orden máximo tanto de \(A\) como de \((A\,|\,b)\).

Una vez identificados los valores críticos, el análisis distingue:

Caso general Cualquier valor del parámetro distinto de todos los valores críticos. El rango de \(A\) es máximo y la clasificación se hace directamente.
Cada valor crítico Se sustituye el valor en \(A\) y \((A\,|\,b)\) y se recalcula el rango. El sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible.
Regla general Si \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b)\) el sistema es compatible; si difieren, es incompatible. Nunca puede ocurrir \(\text{rg}(A) > \text{rg}(A\,|\,b)\).

La resolución de los casos compatibles se hace habitualmente con la regla de Cramer (si el sistema es SCD) o expresando \(n - r\) incógnitas en función de las \(n - r\) libres (si es SCI).

4. El método paso a paso

  1. Escribir la matriz de coeficientes \(A\) y la ampliada \((A\,|\,b)\) con el parámetro.
  2. Calcular \(\det(A)\) como polinomio en el parámetro. Si \(A\) no es cuadrada, se igualan a cero todos los menores de orden máximo tanto de \(A\) como de \((A\,|\,b)\).
  3. Identificar los valores críticos de la forma indicada en el apartado anterior.
  4. Analizar el caso general (parámetro distinto de todos los críticos). El sistema se resuelve por Cramer.
  5. Analizar cada valor crítico por separado. Se sustituye el valor en \(A\) y en \((A\,|\,b)\), se calcula el rango de ambas matrices (buscando el mayor menor no nulo) y se aplica la tabla de Rouché-Frobenius. Si el sistema es compatible, se da la solución.

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de Rouché-Frobenius con parámetro te permite introducir tu propio sistema, calcular los menores simbólicamente y obtener la discusión y la solución para cada valor del parámetro.

Usar la calculadora →

5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Sistema 2×2 con un valor crítico

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(k\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} x + 2y &= 3 \\ kx + 4y &= k \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Matrices de coeficientes y ampliada

\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\k&4\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\k&4&k\end{array}\right) \]

Paso 2 — Determinante de \(A\) y valor crítico

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&2\\k&4\end{vmatrix}=4-2k=2(2-k) \]

Igualando a cero: \(4-2k=0 \Rightarrow \boldsymbol{k=2}\). Un único valor crítico.

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(k \neq 2\) — caso general

\(\det(A) = 4-2k \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A) = 2\). El mismo menor aparece en la ampliada, por lo que \(\text{rg}(A\,|\,b) = 2\). Como \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) = 2 = n\): sistema compatible determinado.

Solución única por la regla de Cramer:

\[ x=\frac{\begin{vmatrix}3&2\\k&4\end{vmatrix}}{4-2k}=\frac{12-2k}{4-2k}=\frac{2(6-k)}{2(2-k)}=\frac{6-k}{2-k} \qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&3\\k&k\end{vmatrix}}{4-2k}=\frac{k-3k}{4-2k}=\frac{-2k}{2(2-k)}=\frac{-k}{2-k} \]
Solución única: \(\left(x=\dfrac{6-k}{2-k},\quad y=\dfrac{-k}{2-k}\right)\quad(k\neq 2)\)

Para \(k = 2\)

Sustituimos \(k=2\):

\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\2&4&2\end{array}\right) \]

Las filas de \(A\) son proporcionales \((F_2=2F_1)\), así que \(\text{rg}(A)=1\). En la ampliada, el menor de orden 2 formado por las columnas 1 y 3 es:

\[ \begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}=2-6=-4\neq 0 \;\Rightarrow\; \text{rg}(A\,|\,b)=2 \]

Como \(\text{rg}(A)=1\neq 2=\text{rg}(A\,|\,b)\): sistema incompatible.

El sistema no tiene solución para \(k=2\)

Ejemplo 2 — Sistema 3×3 simétrico con dos valores críticos

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(a\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} x + y + az &= 1 \\ ax + y + z &= 1 \\ x + ay + z &= 1 \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Matrices

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&a\\a&1&1\\1&a&1\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&a&1\\a&1&1&1\\1&a&1&1\end{array}\right) \]

Paso 2 — Determinante de \(A\) y valores críticos

Desarrollando por la regla de Sarrus:

\[ \det(A)=1+1+a^3-a-a-a=a^3-3a+2 \]

Comprobamos que \(a=1\) es raíz: \(1-3+2=0\;\checkmark\). Dividimos:

\[ a^3-3a+2=(a-1)(a^2+a-2)=(a-1)(a-1)(a+2)=(a-1)^2(a+2) \]

Los valores críticos son \(\boldsymbol{a=1}\) y \(\boldsymbol{a=-2}\).

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(a \neq 1\) y \(a \neq -2\) — caso general

\(\det(A)=(a-1)^2(a+2)\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=3=n\). El mismo menor de orden 3 garantiza \(\text{rg}(A\,|\,b)=3\). Sistema compatible determinado.

Por la simetría del sistema (las tres columnas de \(b\) son iguales), las tres incógnitas resultan iguales. Calculamos \(x\) por Cramer (los cálculos de \(y\) y \(z\) son análogos):

\[ \det(A_x)=\begin{vmatrix}1&1&a\\1&1&1\\1&a&1\end{vmatrix}=1+1+a^2-a-a-1=a^2-2a+1=(1-a)^2 \;\Rightarrow\; x=\frac{(1-a)^2}{(a-1)^2(a+2)}=\frac{1}{a+2} \]

Por simetría, \(y=z=\dfrac{1}{a+2}\).

Solución única: \(\left(x=y=z=\dfrac{1}{a+2}\right)\quad(a\neq1,\;a\neq-2)\)

Para \(a = 1\)

Con \(a=1\) las tres ecuaciones son idénticas (\(x+y+z=1\)):

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\quad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right) \]

El único menor de orden 1 no nulo es \(a_{11}=1\), luego \(\text{rg}(A)=1\). En la ampliada ocurre lo mismo: \(\text{rg}(A\,|\,b)=1\).

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A\,|\,b)=1<n=3\): sistema compatible indeterminado con \(3-1=2\) parámetros libres.

La única ecuación válida es \(x+y+z=1\). Dejamos \(y=s\) y \(z=t\) libres:

Infinitas soluciones: \(\left(x=1-s-t,\quad y=s,\quad z=t\right)\quad(s,t\in\mathbb{R})\)

Para \(a = -2\)

Con \(a=-2\):

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\-2&1&1\\1&-2&1\end{pmatrix},\quad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&1\\-2&1&1&1\\1&-2&1&1\end{array}\right) \]

\(\det(A)=0\). El menor de orden 2 formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 es \(\begin{vmatrix}1&1\\-2&1\end{vmatrix}=3\neq 0\), luego \(\text{rg}(A)=2\).

Para la ampliada, se busca un menor de orden 3 no nulo usando las columnas 1, 2 y 4:

\[ \begin{vmatrix}1&1&1\\-2&1&1\\1&-2&1\end{vmatrix}=1+1+4-1+2+2=9\neq 0 \;\Rightarrow\;\text{rg}(A\,|\,b)=3 \]

\(\text{rg}(A)=2\neq 3=\text{rg}(A\,|\,b)\): sistema incompatible.

El sistema no tiene solución para \(a=-2\)

Ejemplo 3 — Sistema 3×3 con parámetro en coeficiente y como potencia

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(a\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} x + y + z &= 3 \\ x + 2y + az &= 4 \\ x + 4y + a^2z &= 6 \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Matrices

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\1&2&a&4\\1&4&a^2&6\end{array}\right) \]

Paso 2 — Determinante de \(A\) y valores críticos

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{vmatrix} =2a^2+a+4-2-4a-a^2=a^2-3a+2=(a-1)(a-2) \]

Los valores críticos son \(\boldsymbol{a=1}\) y \(\boldsymbol{a=2}\).

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(a \neq 1\) y \(a \neq 2\) — caso general

\(\det(A)=(a-1)(a-2)\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=\text{rg}(A\,|\,b)=3=n\): sistema compatible determinado.

Calculamos por Cramer:

\[ \det(A_x)=\begin{vmatrix}3&1&1\\4&2&a\\6&4&a^2\end{vmatrix}=6a^2+6a+16-12-12a-4a^2=2a^2-6a+4=2(a-1)(a-2) \;\Rightarrow\; x=\frac{2(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)}=2 \]
\[ \det(A_y)=\begin{vmatrix}1&3&1\\1&4&a\\1&6&a^2\end{vmatrix}=4a^2+3a+6-4-6a-3a^2=a^2-3a+2=(a-1)(a-2) \;\Rightarrow\; y=\frac{(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)}=1 \]
\[ \det(A_z)=\begin{vmatrix}1&1&3\\1&2&4\\1&4&6\end{vmatrix}=12+4+12-6-16-6=0 \;\Rightarrow\; z=0 \]
Solución única: \(\left(x=2,\quad y=1,\quad z=0\right)\quad(a\neq1,\;a\neq2)\)

Para \(a = 1\)

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&4&1\end{pmatrix},\quad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\1&2&1&4\\1&4&1&6\end{array}\right) \]

El menor de orden 2 de las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 vale \(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2\).

El menor de orden 3 de la ampliada con las columnas 1, 2 y 4 es \(\begin{vmatrix}1&1&3\\1&2&4\\1&4&6\end{vmatrix}=12+4+12-6-16-6=0\), y el resto de menores de orden 3 disponibles también se anulan, por lo que \(\text{rg}(A\,|\,b)=2\).

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A\,|\,b)=2<n=3\): sistema compatible indeterminado con 1 parámetro libre. Tomamos \(z=t\). El subsistema en \(x,y\) queda:

\[ \left\{\begin{aligned}x+y&=3-t\\x+2y&=4-t\end{aligned}\right. \;\Rightarrow\; y=1,\quad x=(3-t)-y=2-t \]
Infinitas soluciones: \(\left(x=2-t,\quad y=1,\quad z=t\right)\quad(t\in\mathbb{R})\)

Para \(a = 2\)

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&4&4\end{pmatrix},\quad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\1&2&2&4\\1&4&4&6\end{array}\right) \]

El mismo menor de orden 2 que antes vale \(1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2\). Los menores de orden 3 de la ampliada se anulan igualmente (la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras), por lo que \(\text{rg}(A\,|\,b)=2\).

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A\,|\,b)=2<n=3\): sistema compatible indeterminado con 1 parámetro libre. Tomamos \(z=t\). El subsistema en \(x,y\) queda:

\[ \left\{\begin{aligned}x+y&=3-t\\x+2y&=4-2t\end{aligned}\right. \;\Rightarrow\; y=1-t,\quad x=(3-t)-y=2 \]
Infinitas soluciones: \(\left(x=2,\quad y=1-t,\quad z=t\right)\quad(t\in\mathbb{R})\)

Ejemplo 4 — Sistema no cuadrado con más ecuaciones que incógnitas

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(k\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} kx + 3y &= 4 \\ 3x - y &= 2 \\ 2x - y &= k \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Matrices

\[ A=\begin{pmatrix}k&3\\3&-1\\2&-1\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{cc|c}k&3&4\\3&-1&2\\2&-1&k\end{array}\right) \]

Paso 2 — Rango de \(A\) y valores críticos

El sistema tiene 3 ecuaciones y 2 incógnitas (\(A\) es 3×2). El menor de orden 2 formado por las filas 2 y 3 de \(A\) vale:

\[ \begin{vmatrix}3&-1\\2&-1\end{vmatrix}=-3+2=-1\neq 0 \;\Rightarrow\; \text{rg}(A)=2 \text{ para todo } k \]

Para que el sistema sea compatible se necesita \(\text{rg}(A\,|\,b)=2\), lo que exige \(\det(A\,|\,b)=0\):

\[ \det(A\,|\,b)=\begin{vmatrix}k&3&4\\3&-1&2\\2&-1&k\end{vmatrix}=-k^2+12-12+8+2k-9k=-k^2-7k+8=-(k-1)(k+8) \]

Los valores críticos son \(\boldsymbol{k=1}\) y \(\boldsymbol{k=-8}\).

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(k \neq 1\) y \(k \neq -8\) — caso general

\(\det(A\,|\,b)\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A\,|\,b)=3\neq 2=\text{rg}(A)\): sistema incompatible.

El sistema no tiene solución para \(k\neq 1\) y \(k\neq -8\)

Para \(k = 1\)

\(\det(A\,|\,b)=0\Rightarrow\text{rg}(A\,|\,b)=2=\text{rg}(A)=n\): sistema compatible determinado.

Tomamos las ecuaciones 2 y 3: \(3x-y=2\) y \(2x-y=1\). Restando: \(x=1\), luego \(y=3(1)-2=1\).

Solución única: \(\left(x=1,\quad y=1\right)\quad(k=1)\)

Para \(k = -8\)

\(\det(A\,|\,b)=0\Rightarrow\text{rg}(A\,|\,b)=2=\text{rg}(A)=n\): sistema compatible determinado.

Tomamos las ecuaciones 2 y 3: \(3x-y=2\) y \(2x-y=-8\). Restando: \(x=10\), luego \(y=3(10)-2=28\).

Solución única: \(\left(x=10,\quad y=28\right)\quad(k=-8)\)

Ejemplo 5 — Sistema 3×3 con parámetro en \(A\) y en \(b\)

Discutir y resolver según los valores del parámetro \(a\):

Sistema:

\[ \left\{\begin{aligned} x + y + 2z &= 1 \\ x + 2y + az &= 3 \\ x + ay + 4z &= a+2 \end{aligned}\right. \]

Paso 1 — Matrices

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&a\\1&a&4\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&1\\1&2&a&3\\1&a&4&a+2\end{array}\right) \]

Paso 2 — Determinante de \(A\) y valores críticos

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&1&2\\1&2&a\\1&a&4\end{vmatrix}=8+a+2a-4-a^2-4=3a-a^2=a(3-a) \]

Los valores críticos son \(\boldsymbol{a=0}\) y \(\boldsymbol{a=3}\).

Paso 3 — Estudio de cada caso

Para \(a \neq 0\) y \(a \neq 3\) — caso general

\(\det(A)=a(3-a)\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=\text{rg}(A\,|\,b)=3=n\): sistema compatible determinado.

Por la regla de Cramer:

\[ \det(A_x)=\begin{vmatrix}1&1&2\\3&2&a\\a+2&a&4\end{vmatrix}=8+a(a+2)+6a-4(a+2)-a^2-12=4(a-3) \;\Rightarrow\; x=\frac{4(a-3)}{-a(a-3)}=\frac{-4}{a} \]
\[ \det(A_y)=\begin{vmatrix}1&1&2\\1&3&a\\1&a+2&4\end{vmatrix}=12+a+2(a+2)-6-a(a+2)-4=-(a-3)(a+2) \;\Rightarrow\; y=\frac{-(a-3)(a+2)}{-a(a-3)}=\frac{a+2}{a} \]
\[ \det(A_z)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&a&a+2\end{vmatrix}=2(a+2)+3+a-2-3(a+2)-a=3-a \;\Rightarrow\; z=\frac{3-a}{a(3-a)}=\frac{1}{a} \]
Solución única: \(\left(x=\dfrac{-4}{a},\quad y=\dfrac{a+2}{a},\quad z=\dfrac{1}{a}\right)\quad(a\neq0,\;a\neq3)\)

Para \(a = 0\)

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&0\\1&0&4\end{pmatrix},\quad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&1\\1&2&0&3\\1&0&4&2\end{array}\right) \]

\(\det(A)=0\). El menor de orden 2 de las filas 1 y 2 vale \(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2\).

Para la ampliada, el menor de orden 3 con las columnas 1, 2 y 4:

\[ \begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&0&2\end{vmatrix}=4+3+0-2-0-2=3\neq 0\;\Rightarrow\;\text{rg}(A\,|\,b)=3 \]

\(\text{rg}(A)=2\neq3=\text{rg}(A\,|\,b)\): sistema incompatible.

El sistema no tiene solución para \(a=0\)

Para \(a = 3\)

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\1&3&4\end{pmatrix},\quad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&1\\1&2&3&3\\1&3&4&5\end{array}\right) \]

Escalonando con \(F_2\leftarrow F_2-F_1\) y \(F_3\leftarrow F_3-F_1\):

\[ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&1\\0&1&1&2\\0&2&2&4\end{array}\right) \xrightarrow{F_3\leftarrow F_3-2F_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&2&1\\0&1&1&2\\0&0&0&0\end{array}\right) \]

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A\,|\,b)=2<n=3\): sistema compatible indeterminado con 1 parámetro libre. Tomamos \(z=t\):

\[ y=2-t,\quad x=1-y-2z=1-(2-t)-2t=-1-t \]
Infinitas soluciones: \(\left(x=-1-t,\quad y=2-t,\quad z=t\right)\quad(t\in\mathbb{R})\)

6. Errores frecuentes

7. Ejercicios propuestos

Discute la compatibilidad del sistema según el parámetro y, cuando tenga solución, exprésala.

Ej. 1Sistema 2×2 · parámetro aSCD / SCI
Discute y resuelve según el valor de \(a\): \[\left\{\begin{aligned}3x+ay&=6\\x+y&=2\end{aligned}\right.\]

Matrices y determinante

\[A=\begin{pmatrix}3&a\\1&1\end{pmatrix},\quad(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}3&a&6\\1&1&2\end{array}\right)\] \[\det(A)=3-a\;\Rightarrow\;\text{valor crítico: }a=3\]

Casos

  • Si \(a\neq3\): \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=2=n\) → SCD. Por Cramer: \(x=\dfrac{\begin{vmatrix}6&a\\2&1\end{vmatrix}}{3-a}=\dfrac{6-2a}{3-a}=2,\quad y=\dfrac{\begin{vmatrix}3&6\\1&2\end{vmatrix}}{3-a}=\dfrac{0}{3-a}=0\).
  • Si \(a=3\): \(A=\begin{pmatrix}3&3\\1&1\end{pmatrix}\), filas proporcionales, \(\text{rg}(A)=1\). En la ampliada: \(\begin{pmatrix}3&3&6\\1&1&2\end{pmatrix}\), también proporcionales, \(\text{rg}(A|b)=1\). Como \(\text{rg}=\text{rg}=1<n=2\) → SCI. De \(x+y=2\), con \(y=t\): \(x=2-t\).
SCD si a ≠ 3: (x = 2, y = 0) SCI si a = 3: (x = 2−t, y = t) (t∈ℝ)
Ej. 2Sistema 3×3 · parámetro kSCD / SCI
Discute y resuelve según el valor de \(k\): \[\left\{\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+ky+z&=1\\x+y+kz&=1\end{aligned}\right.\]

Matrices y determinante

\[A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{pmatrix}\] \[\det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{vmatrix}=k^2+1+1-k-k-1=k^2-2k+1=(k-1)^2\] Valor crítico: \(k=1\).

Casos

  • Si \(k\neq1\): \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=3=n\) → SCD. Por Cramer: \(\det(A_x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{vmatrix}=k^2+1+1-k-1-k=(k-1)^2\Rightarrow x=1\). Las matrices \(A_y\) y \(A_z\) tienen filas repetidas: \(\det(A_y)=\det(A_z)=0\Rightarrow y=z=0\).
  • Si \(k=1\): Las tres ecuaciones son \(x+y+z=1\). \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=1<3\) → SCI (2 parámetros libres). Con \(y=s,\,z=t\): \(x=1-s-t\).
SCD si k ≠ 1: (x = 1, y = 0, z = 0) SCI si k = 1: (x = 1−s−t, y = s, z = t) (s,t∈ℝ)
Ej. 3Sistema 3×3 · parámetro aSCD / SCI / SI
Discute y resuelve según el valor de \(a\): \[\left\{\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+ay+z&=a\\x+y+az&=1\end{aligned}\right.\]

Matrices y determinante

\[A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}\] \[\det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^2+1+1-a-a-1=a^2-2a+1=(a-1)^2\] Valor crítico: \(a=1\).

Caso general \(a\neq1\)

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=3=n\) → SCD. \[\det(A_y)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^2+1+1-a-1-a=(a-1)^2\;\Rightarrow\;y=1\] \[\det(A_z)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&a\\1&1&1\end{vmatrix}=a+a+1-a-a-1=0\;\Rightarrow\;z=0\] De la primera ecuación: \(x=1-y-z=0\). SCD si a ≠ 1: (x = 0, y = 1, z = 0)

Caso \(a=1\)

Con \(a=1\): la primera y tercera ecuaciones son \(x+y+z=1\); la segunda es \(x+y+z=1\) también. Las tres son idénticas. \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=1<3\) → SCI (2 parámetros libres). Con \(y=s,\,z=t\): \(x=1-s-t\). SCI si a = 1: (x = 1−s−t, y = s, z = t) (s,t∈ℝ)

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