Método de Gauss para sistemas de ecuaciones lineales
Todo lo que necesitas para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss:
Cómo se aplica el método paso a paso.
Cómo se clasifican los sistemas (CD, CI, I).
Ejemplos resueltos de cada tipo (CD, CI, I).
Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato
1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones en las que todas las incógnitas aparecen con exponente máximo 1 y, en ningún caso, hay productos entre ellas. El objetivo es encontrar, si existe, el conjunto de valores que satisface todas las ecuaciones a la vez (es decir, la solución o soluciones).
En general, un sistema con \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas tiene la forma:
Los coeficientes \(a_{ij}\) y los términos independientes \(b_i\) son números reales conocidos. Las incógnitas son \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).
Una solución del sistema es un conjunto de valores (uno por cada incógnita) que verifica todas las ecuaciones al mismo tiempo.
2. Tipos de sistemas
Según el número de soluciones, cualquier sistema de ecuaciones lineales pertenece a uno de estos tres tipos:
Compatible determinado
Tiene exactamente una solución.
Compatible indeterminado
Tiene infinitas soluciones.
Incompatible
No tiene ninguna solución.
El método de Gauss permite determinar a cuál de los tres tipos pertenece el sistema y, en su caso, calcular la única solución o las infinitas soluciones.
3. La matriz ampliada de Gauss
El primer paso del método de Gauss es traducir el sistema a su matriz ampliada \((A\,|\,b)\). Esta matriz recoge todos los coeficientes del sistema y los términos independientes como columna adicional, separada por una barra vertical.
Importante: si una incógnita no aparece en una ecuación, su coeficiente es 0. Hay que respetar el orden de las incógnitas en todas las filas.
4. Operaciones elementales por filas
El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada en una forma escalonada aplicando operaciones elementales por filas. Estas operaciones no cambian las soluciones del sistema, solo su representación.
Forma escalonada
Una matriz está en forma escalonada cuando se cumplen dos condiciones: las filas nulas (si las hay) están al final, y el primer elemento no nulo de cada fila —el pivote— está estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila anterior.
Intercambio de filasCambiar de posición dos filas: \(F_i \leftrightarrow F_j\)
Multiplicación por escalarMultiplicar todos los elementos de una fila por un número no nulo: \(F_i \to k \cdot F_i\)
Combinación lineal de filasSustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras filas.Por ejemplo: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\) o \(F_3 \to 2F_3 - 3F_2\).Es la operación más utilizada en el escalonamiento.
Nota — Intercambio de columnas: En las matrices ampliadas de sistemas lineales, y para facilitar el escalonamiento, se pueden intercambiar dos columnas de incógnitas, pero hay que indicarlo explícitamente para no incurrir en errores al interpretar la solución. En ningún caso se puede mover la última columna (la de los términos independientes).
Escribir la matriz ampliada del sistema, respetando el orden de las incógnitas en cada fila.
Escalonar la matriz aplicando operaciones elementales por filas hasta obtener la forma escalonada.
Clasificar el sistema a partir de la forma escalonada.
Llamemos \(n\) al número de incógnitas y \(r\) al número de filas no nulas que quedan en la matriz escalonada obtenida:
Incompatible si aparece una fila con todos los coeficientes iguales a cero pero término independiente distinto de cero. La ecuación que representa es del tipo \(0 = b\) con \(b \neq 0\), que es imposible.
Compatible determinado si no hay fila imposible y el número de filas no nulas coincide con el número de incógnitas (\(r = n\)). El sistema tiene una única solución.
Compatible indeterminado si no hay fila imposible y el número de filas no nulas es menor que el de incógnitas (\(r < n\)). El sistema tiene infinitas soluciones, que se expresan con \(n - r\) parámetros libres.
Resolver por sustitución regresiva si el sistema es compatible. Se despeja la incógnita de la última ecuación y se va subiendo fila a fila. En el caso de que sea compatible indeterminado, las infinitas soluciones se escriben con la ayuda de tantos parámetros como diferencia haya entre \(n\) y \(r\).
¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de Gauss te permite introducir tu propio sistema, aplicar las operaciones paso a paso y obtener la clasificación y la solución.
La segunda fila representa la ecuación \(0 = 3\), que es imposible. Sistema incompatible.
El sistema no tiene solución
9. Errores frecuentes
Mezclar el orden de las incógnitas al construir la matriz ampliada. Si en una ecuación falta una incógnita, su coeficiente es 0, no se salta la columna.
Olvidar operar también el término independiente al aplicar una operación de fila. La columna de los términos independientes forma parte de la matriz y se transforma igual que el resto.
Confundir fila de ceros con fila imposible. Una fila de ceros completa significa que esa ecuación era redundante (sistema indeterminado). Una fila con ceros en los coeficientes pero término independiente distinto de cero significa que es imposible (sistema incompatible).
Elegir mal el parámetro libre. En un sistema indeterminado, el parámetro debe asignarse a la incógnita que no tiene pivote. Si dos incógnitas quedan sin pivote, se necesitan dos parámetros.
Acumular errores con fracciones. Conviene no simplificar a medias durante el escalonamiento. Trabajar con fracciones exactas evita redondeos.
10. Ejercicios propuestos
Dos ejercicios de cada tipo para practicar el método completo.
Ej. 1Compatible determinadoSistema 3×3
Resuelve el sistema:
\[\left\{\begin{aligned}x+y+z&=6\\2x-y+z&=3\\x+2y-z&=2\end{aligned}\right.\]
Las tres ecuaciones son múltiplos. Solo queda \(x + 2y - z = 3\). Con \(y = s\) y \(z = t\):
\[x = 3 - 2s + t,\quad y = s,\quad z = t\qquad (s, t \in \mathbb{R})\]
Infinitas soluciones con 2 parámetros libres
Ej. 5IncompatibleSistema 2×2
Resuelve el sistema:
\[\left\{\begin{aligned}2x-4y&=6\\-x+2y&=5\end{aligned}\right.\]
Escalonamiento
\[\left(\begin{matrix}2&-4\\-1&2\end{matrix}\middle|\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)\underset{F_2\to 2F_2+F_1}{\sim}\left(\begin{matrix}2&-4\\0&0\end{matrix}\middle|\begin{matrix}6\\16\end{matrix}\right)\]
La fila 2 representa \(0 = 16\), imposible.
Sistema incompatible: ninguna solución
Ej. 6IncompatibleSistema 3×3
Resuelve el sistema:
\[\left\{\begin{aligned}x+y-z&=2\\2x-y+z&=1\\x-2y+2z&=4\end{aligned}\right.\]
Escalonamiento
\[\left(\begin{matrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&-2&2\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\1\\4\end{matrix}\right)\underset{\substack{F_2\to F_2-2F_1\\F_3\to F_3-F_1}}{\sim}\left(\begin{matrix}1&1&-1\\0&-3&3\\0&-3&3\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\-3\\2\end{matrix}\right)\underset{F_3\to F_3-F_2}{\sim}\left(\begin{matrix}1&1&-1\\0&-3&3\\0&0&0\end{matrix}\middle|\begin{matrix}2\\-3\\5\end{matrix}\right)\]
La fila 3 representa \(0 = 5\), imposible.
Sistema incompatible: ninguna solución
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