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Rango de una matriz por el método de los menores

Todo lo que necesitas para calcular el rango de una matriz usando el método de los menores:

  1. Qué es el rango y qué es un menor.
  2. El criterio del rango por menores.
  3. Ejemplos resueltos y ejercicios con solución.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es el rango de una matriz?

El rango de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es el mayor número de filas (o columnas) linealmente independientes que contiene. Se denota \(\text{rg}(A)\) o \(\text{rang}(A)\), y cumple siempre:

\[0\;\leq\;\text{rg}(A)\;\leq\;\min(m,n)\]

Dos o más filas son linealmente dependientes cuando una puede expresarse como combinación lineal de las demás. El rango puede calcularse de varias formas equivalentes; el método de los menores lo determina buscando el mayor menor no nulo, sin necesidad de transformar la matriz.

Idea fundamental. El rango de \(A\) es exactamente el orden \(r\) del mayor menor no nulo: existe al menos una submatriz cuadrada de orden \(r\) con determinante distinto de cero, y todos los menores de orden \(r+1\) son nulos (o no existen por dimensión).

El rango puede calcularse también mediante la eliminación de Gauss. Ambos métodos producen siempre el mismo resultado.

2. Propiedades del rango

Cota superior Para toda matriz \(A_{m\times n}\): \(\text{rg}(A)\leq\min(m,n)\). El rango nunca puede superar ni el número de filas ni el de columnas.
Rango por filas = rango por columnas \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)\). El número de filas independientes coincide con el de columnas independientes. En el método de los menores, se pueden elegir filas o columnas indistintamente.
Rango 0 Solo la matriz nula tiene rango 0. Cualquier otra matriz tiene rango al menos 1.
Rango máximo Una matriz \(m\times n\) tiene rango máximo cuando \(\text{rg}(A)=\min(m,n)\). Hay al menos un menor del mayor orden posible que es no nulo.
Matriz cuadrada \(n\times n\) \(\text{rg}(A)=n\Longleftrightarrow\det(A)\neq 0\). Si el determinante es distinto de cero, el rango es máximo. Si es cero, hay que buscar el mayor menor no nulo de orden menor.

3. ¿Qué es un menor de una matriz?

Un menor de orden \(r\) de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden \(r\) obtenida eligiendo \(r\) filas y \(r\) columnas de \(A\).

Cómo se forma Se eligen \(r\) filas \(i_1<i_2<\cdots<i_r\) y \(r\) columnas \(j_1<j_2<\cdots<j_r\). Los elementos en las intersecciones forman la submatriz cuadrada cuyo determinante es el menor.
Teorema del rango \(\text{rg}(A)=r\) si y solo si existe al menos un menor de orden \(r\) no nulo y todos los menores de orden \(r+1\) son nulos (o \(r=\min(m,n)\)).

Ejemplo

Sea \(A\) una matriz de orden \(3\times 4\):

\[A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{matrix}\right)\]

Un menor de orden 2 tomando las filas 1 y 2 y las columnas 2 y 3 se obtiene extrayendo los elementos de esas intersecciones y calculando el determinante de la submatriz resultante:

\[\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\]

Consecuencia práctica. Para calcular el rango no hace falta comprobar todos los menores de todos los órdenes. Basta con encontrar un menor de orden 2 no nulo e intentar ampliarlo; si no existe ninguno, comprobar si hay algún elemento distinto de cero (rango = 1) o si la matriz es completamente nula (rango = 0).

4. El método paso a paso

  1. Buscar un menor de orden 2 no nulo. Se calculan los menores de orden 2 de la matriz hasta encontrar uno cuyo valor sea distinto de cero. Si no existe ninguno, el rango es 1 (salvo que la matriz sea completamente nula, en cuyo caso el rango es 0).
  2. Ampliar el menor a orden 3. A partir del menor de orden 2 no nulo encontrado, se intenta añadir una fila y una columna adicionales de todas las formas posibles, buscando un menor de orden 3 no nulo. Si no existe ninguno, o si ya no hay filas o columnas para añadir, el rango es 2.
  3. Continuar ampliando. Se repite el proceso: se intenta ampliar el mayor menor no nulo encontrado hasta que no sea posible seguir ampliando o todos los intentos de ampliación produzcan determinantes nulos. El rango coincide con el orden del último menor no nulo encontrado.

Importante: en cada paso siempre se amplía el mismo menor elegido en el paso anterior, no uno diferente. Cambiar de menor de base invalida el proceso.

¿Quieres practicar? La calculadora de rango por menores te permite introducir tu propia matriz, elegir los menores paso a paso y obtener la solución completa con todos los pasos intermedios.

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5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Primer intento nulo, segundo intento válido (3×4, rg = 3)

\[A=\left(\begin{matrix}2 & -3 & 2 & 1\\1 & 2 & -4 & 0\\3 & -1 & -2 & 2\end{matrix}\right)\]

Paso 1 — Menor de orden 2 no nulo

Tomamos filas 1, 2 y columnas 1, 2:

\[\left|\begin{matrix}2 & -3\\1 & 2\end{matrix}\right|=4+3=7\neq 0\quad\checkmark\]

Existe un menor de orden 2 no nulo, por tanto \(\text{rg}(A)\geq 2\).

Paso 2 — Ampliar a orden 3 (primer intento: nulo)

Añadimos fila 3 y columna 3 (filas 1,2,3; columnas 1,2,3):

\[\left|\begin{matrix}2 & -3 & 2\\1 & 2 & -4\\3 & -1 & -2\end{matrix}\right|=-8+36-2-12-8-6=0\quad\text{(nulo, descartado)}\]

Paso 3 — Ampliar a orden 3 (segundo intento: no nulo)

Cambiamos de columna: añadimos fila 3 y columna 4 (filas 1,2,3; columnas 1,2,4):

\[\left|\begin{matrix}2 & -3 & 1\\1 & 2 & 0\\3 & -1 & 2\end{matrix}\right|=8+0-1-6-0+6=7\neq 0\quad\checkmark\]

Paso 4 — Intentar ampliar a orden 4

No es posible: la matriz solo tiene 3 filas.

\(\text{rg}(A)=3\)

Ejemplo 2 — El determinante es el único menor máximo (3×3, rg = 3)

En una matriz cuadrada \(n\times n\), el único menor de orden \(n\) es el propio determinante. Si es no nulo, el rango es máximo directamente.

\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\-1 & 3 & 1\end{matrix}\right)\]

Menor de orden 3 (= determinante)

\[|A|=1(1-6)-2(3+2)+(-1)(9+1)=-5-10-10=-25\neq 0\quad\checkmark\]

El determinante es no nulo: existe un menor de orden 3 no nulo y no puede haber ninguno de orden superior.

\(\text{rg}(A)=3\)

Ejemplo 3 — Det = 0 pero existe menor de orden 2 no nulo (3×3, rg = 2)

\[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\\1 & 3 & 5\end{matrix}\right)\]

Menor de orden 3 (= determinante)

\[|A|=1(20-18)-2(10-6)+3(6-4)=2-8+6=0\quad\text{(nulo)}\]

Como el determinante es nulo, \(\text{rg}(A)<3\). La segunda fila es el doble de la primera (\(F_2=2F_1\)), por lo que los menores de orden 2 que usen esas dos filas serán también nulos. Probamos con filas 1 y 3:

Menor de orden 2 (filas 1,3; columnas 1,2)

\[\left|\begin{matrix}1 & 2\\1 & 3\end{matrix}\right|=3-2=1\neq 0\quad\checkmark\]

Existe un menor de orden 2 no nulo. Como ya sabemos que el rango es menor que 3, concluimos que es exactamente 2.

\(\text{rg}(A)=2\)

Ejemplo 4 — Todos los menores de orden 2 son nulos (3×3, rg = 1)

\[A=\left(\begin{matrix}2 & 4 & 6\\1 & 2 & 3\\3 & 6 & 9\end{matrix}\right)\]

Las tres filas son proporcionales a \((1,2,3)\). Todos los menores de orden 2 son nulos:

Comprobación de menores de orden 2

\[\left|\begin{matrix}2 & 4\\1 & 2\end{matrix}\right|=0,\quad\left|\begin{matrix}2 & 6\\1 & 3\end{matrix}\right|=0,\quad\left|\begin{matrix}4 & 6\\2 & 3\end{matrix}\right|=0,\quad\ldots\]

Todos los menores de orden 2 son nulos. Sin embargo, existe algún elemento no nulo (p.ej. \(a_{11}=2\neq 0\)), lo que garantiza \(\text{rg}(A)\geq 1\).

\(\text{rg}(A)=1\)

Ejemplo 5 — Det = 0 pero existe menor de orden 3 no nulo (4×4, rg = 3)

\[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 2 & -1\\2 & 0 & 4 & -2\\0 & 1 & 1 & 3\\1 & 2 & 3 & 5\end{matrix}\right)\]

La fila 2 es el doble de la fila 1 (\(F_2=2F_1\)), por lo que el determinante es nulo y \(\text{rg}(A)<4\).

Menor de orden 3 no nulo (filas 1,3,4; columnas 1,2,3)

\[\left|\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\end{matrix}\right|=3+0+0-2-2-0=-1\neq 0\quad\checkmark\]

Existe un menor de orden 3 no nulo, y sabemos que el rango no puede ser 4. Por tanto:

\(\text{rg}(A)=3\)

6. Errores frecuentes

7. Ejercicios propuestos

Calcula el rango de cada matriz usando el método de los menores. Busca el mayor menor no nulo.

Ej. 1Matriz 3×3Nivel básico · rg = 3
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 2\\2 & 1 & 3\\4 & 1 & 8\end{matrix}\right)\]

Menor de orden 3 (determinante)

\[|A|=1\cdot(1\cdot8-3\cdot1)-0+2\cdot(2\cdot1-1\cdot4)=5+2\cdot(-2)=1\neq 0\]

Conclusión

Existe un menor de orden 3 no nulo, luego el rango es máximo. rg(A) = 3
Ej. 2Matriz 3×3Nivel medio · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\\1 & 3 & 5\end{matrix}\right)\]

Menor de orden 3

La fila 2 es el doble de la fila 1 (\(F_2=2F_1\)), por lo que las filas son linealmente dependientes y \(|A|=0\). Por tanto \(\text{rg}(A)<3\). Necesitamos buscar si existe algún menor de orden 2 no nulo para determinar si el rango es 2 ó 1.

Búsqueda de menor de orden 2

\[\begin{vmatrix}1 & 3\\1 & 5\end{vmatrix}=5-3=2\neq 0\] Existe un menor de orden 2 no nulo, luego \(\text{rg}(A)\geq 2\). Combinando: \(2\leq\text{rg}(A)<3\), por lo que el rango es exactamente 2. rg(A) = 2
Ej. 3Matriz 2×3Nivel básico · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 5 & 7\end{matrix}\right)\]

El máximo rango posible es 2 (número de filas)

Buscamos un menor de orden 2 no nulo: \[\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{vmatrix}=5-4=1\neq 0\] rg(A) = 2
Recuerda: El rango nunca puede superar el mínimo entre el número de filas y de columnas.
Ej. 4Matriz 3×3Nivel medio · rg = 1
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}2 & 4 & 6\\1 & 2 & 3\\3 & 6 & 9\end{matrix}\right)\]

Menores de orden 3 y orden 2

Todas las filas son múltiplos de \((1,2,3)\), por lo que todos los menores de orden 2 son nulos: \[\begin{vmatrix}2 & 4\\1 & 2\end{vmatrix}=4-4=0,\quad\begin{vmatrix}4 & 6\\2 & 3\end{vmatrix}=12-12=0,\quad\ldots\]

Menor de orden 1

Existen elementos no nulos (p.ej. \(a_{11}=2\neq 0\)), así que \(\text{rg}(A)\geq 1\). rg(A) = 1
Ej. 5Matriz 3×4Nivel avanzado · rg = 3
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & -1\\3 & 6 & 1 & 1\\-2 & -4 & 1 & 3\end{matrix}\right)\]

Menor de orden 2

Probamos con filas 1,2 y columnas 1,2: \(\begin{vmatrix}1&2\\3&6\end{vmatrix}=6-6=0\). Probamos con filas 1,2 y columnas 1,3: \[\begin{vmatrix}1 & 0\\3 & 1\end{vmatrix}=1-0=1\neq 0\quad\checkmark\]

Ampliar a orden 3

Añadimos fila 3 y columna 4 (filas 1,2,3; columnas 1,3,4): \[\begin{vmatrix}1 & 0 & -1\\3 & 1 & 1\\-2 & 1 & 3\end{vmatrix}=1\cdot(3-1)-0+(-1)\cdot(3+2)=2-5=-3\neq 0\quad\checkmark\]

Conclusión

No se puede ampliar a orden 4 (la matriz tiene solo 3 filas). El mayor menor no nulo es de orden 3. rg(A) = 3
Ej. 6Matriz 4×3Nivel avanzado · rg = 2
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\4 & 1 & 5\\3 & 1 & 4\end{matrix}\right)\]

Menor de orden 2

\[\begin{vmatrix}1 & 0\\2 & 1\end{vmatrix}=1\neq 0\quad\checkmark\]

Búsqueda de menor de orden 3

Comprobamos los cuatro menores de orden 3 posibles (eligiendo 3 filas de las 4): \[\begin{vmatrix}1&0&1\\2&1&3\\4&1&5\end{vmatrix}=5+0+2-4-3-0=0 \qquad \begin{vmatrix}1&0&1\\2&1&3\\3&1&4\end{vmatrix}=4+0+2-3-3-0=0\] \[\begin{vmatrix}1&0&1\\4&1&5\\3&1&4\end{vmatrix}=4+0+4-3-5-0=0 \qquad \begin{vmatrix}2&1&3\\4&1&5\\3&1&4\end{vmatrix}=2(4-5)-1(16-15)+3(4-3)=-2-1+3=0\] Todos los menores de orden 3 son nulos.

Conclusión

El mayor menor no nulo es de orden 2. rg(A) = 2
Observación: Las filas 3 y 4 son combinaciones lineales de las dos primeras: \(F_3=2F_1+F_2\) y \(F_4=F_1+F_2\), de ahí que todos los menores de orden 3 sean nulos.
Ej. 7Matriz 4×3Nivel medio · rg = 1
Calcula el rango de la matriz: \[A=\left(\begin{matrix}2 & 1 & -1\\4 & 2 & -2\\6 & 3 & -3\\8 & 4 & -4\end{matrix}\right)\]

Menores de orden 2

Todas las filas son múltiplos de \((2,1,-1)\): \(F_2=2F_1\), \(F_3=3F_1\), \(F_4=4F_1\). Por tanto, todos los menores de orden 2 son nulos: \[\begin{vmatrix}2&1\\4&2\end{vmatrix}=4-4=0,\quad\begin{vmatrix}1&-1\\2&-2\end{vmatrix}=-2+2=0,\quad\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}=-4+4=0,\quad\ldots\]

Menor de orden 1

Existe \(a_{11}=2\neq 0\), luego \(\text{rg}(A)\geq 1\). rg(A) = 1

¿Quieres practicar con tus propias matrices? La calculadora te permite introducir cualquier matriz, elegir los menores paso a paso y comprobar el rango automáticamente.

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