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Matriz inversa por la fórmula de la adjunta

Todo lo que necesitas para calcular la matriz inversa por el método de la adjunta:

  1. Qué son el cofactor y la matriz adjunta.
  2. La fórmula de la adjunta y sus cuatro pasos.
  3. Ejemplos resueltos 2×2 y 3×3 con comprobación.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es la matriz inversa?

Dada una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\), se llama matriz inversa de \(A\) a la matriz \(A^{-1}\) que cumple:

\[A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n\]

donde \(I_n\) es la matriz identidad de orden \(n\). La inversa, cuando existe, es única.

Fórmula central:

\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{Adj}(A)^t\]

donde \(\mathrm{Adj}(A)^t\) es la traspuesta de la matriz adjunta de \(A\).

2. ¿Cuándo existe la inversa?

La matriz \(A\) tiene inversa si y solo si \(\det(A) \neq 0\).

Por tanto, el primer paso siempre es calcular el determinante. Solo si es distinto de cero tiene sentido continuar con el método.

3. Cofactor y matriz adjunta

Para aplicar la fórmula necesitamos conocer tres conceptos relacionados:

Menor complementario \(M_{ij}\) El determinante de la submatriz obtenida eliminando la fila i y la columna j de \(A\).
Cofactor (adjunto) \(A_{ij}\) El menor complementario con el signo de su posición: \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\).
Matriz de signos La tabla de signos \((-1)^{i+j}\). Para orden 3: \(\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}\). Ayuda a no confundirse con los signos de cada cofactor.
Matriz adjunta \(\mathrm{Adj}(A)\) La matriz formada por todos los cofactores \(A_{ij}\) colocados en su posición \((i,j)\). Para una 3×3 hay que calcular 9 cofactores, cada uno como determinante de una submatriz 2×2 con su signo correspondiente.

4. La fórmula de la adjunta

La fórmula completa para calcular la matriz inversa es:

\[A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{Adj}(A)^t\]

El proceso se desarrolla en cuatro pasos:

  1. Calcular \(\det(A)\). Si es cero, la inversa no existe y el proceso termina aquí.
  2. Calcular la matriz adjunta \(\mathrm{Adj}(A)\). Para cada posición \((i,j)\), calcular el cofactor \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\), donde \(M_{ij}\) es el determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).
  3. Trasponer la adjunta. Calcular \(\mathrm{Adj}(A)^t\) intercambiando filas y columnas de \(\mathrm{Adj}(A)\).
  4. Dividir por el determinante. Multiplicar cada elemento de \(\mathrm{Adj}(A)^t\) por \(\dfrac{1}{\det(A)}\).

Nota sobre eficiencia: para matrices de orden 4 o superior, el método de Gauss-Jordan es más eficiente. La fórmula de la adjunta es práctica sobre todo para órdenes 2 y 3, que son los más habituales en Bachillerato.

5. Fórmula directa para matrices 2×2

Para una matriz \(A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) con \(\det(A) = ad - bc \neq 0\), la fórmula de la adjunta se simplifica en:

\[A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}\]

La regla es sencilla: intercambiar los elementos de la diagonal principal (\(a\) y \(d\)), cambiar el signo de los elementos de la diagonal secundaria (\(b\) y \(c\)), y dividir todo por el determinante.

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de la inversa por adjunta te permite introducir tu propia matriz, ver el cálculo de cada cofactor paso a paso y obtener el resultado automáticamente.

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6. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Matriz 2×2

\[A=\begin{pmatrix}3 & 1\\5 & 2\end{pmatrix}\]

Paso 1 — Determinante

\[\det(A) = 3\cdot 2 - 1\cdot 5 = 6-5 = 1 \neq 0\]

Paso 2 — Fórmula directa 2×2

Como \(\det(A)=1\), aplicamos la fórmula directa intercambiando la diagonal principal y cambiando el signo de la secundaria:

\[A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -1\\-5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1\\-5 & 3\end{pmatrix}\]

Comprobación — \(A\cdot A^{-1} = I_2\)

\[A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 1\\5 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\-5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot2+1\cdot(-5) & 3\cdot(-1)+1\cdot3\\5\cdot2+2\cdot(-5) & 5\cdot(-1)+2\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\;\checkmark\]
\(A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1\\-5 & 3\end{pmatrix}\)

Ejemplo 2 — Matriz 3×3

\[A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}\]

Paso 1 — Determinante

\[\det(A) = 1\cdot(1\cdot2-1\cdot0) - 2\cdot(0\cdot2-1\cdot1) + 0 = 1\cdot2 - 2\cdot(-1) = 2+2 = 4 \neq 0\]

Paso 2 — Matriz adjunta (9 cofactores)

Calculamos cada cofactor \(A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}\):

\[\mathrm{Adj}(A) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}0&1\\1&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}\\[12pt] -\begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&0\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}\\[12pt] +\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\-4 & 2 & 2\\2 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

Paso 3 — Trasponer la adjunta

\[\mathrm{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix}2 & -4 & 2\\1 & 2 & -1\\-1 & 2 & 1\end{pmatrix}\]

Paso 4 — Dividir por el determinante

\[A^{-1} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & -4 & 2\\1 & 2 & -1\\-1 & 2 & 1\end{pmatrix}\]

Comprobación — \(A\cdot A^{-1} = I_3\)

El producto \(A\cdot A^{-1}\) da la matriz identidad \(I_3\). \(\checkmark\)

\(A^{-1} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & -4 & 2\\1 & 2 & -1\\-1 & 2 & 1\end{pmatrix}\)

7. Errores frecuentes

¿Prefieres practicar con la herramienta? La calculadora de la inversa por adjunta te guía paso a paso: determinante, cofactores, traspuesta y resultado.

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8. Ejercicios propuestos

Calcula la inversa de cada matriz usando la fórmula de la adjunta. Intenta resolverlo antes de ver la solución.

Ej. 1Matriz 2×2Nivel básico · invertible
Calcula la inversa de la matriz: \[A=\begin{pmatrix}4 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}\]

Paso 1 — Determinante

\[\det(A) = 4\cdot2 - 3\cdot3 = 8-9 = -1 \neq 0\]

Paso 2 — Fórmula directa 2×2

\[A^{-1} = \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}2 & -3\\-3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 3\\3 & -4\end{pmatrix}\]

Comprobación

\[\begin{pmatrix}4 & 3\\3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 3\\3 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8+9 & 12-12\\-6+6 & 9-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\;\checkmark\]
\(A^{-1} = \begin{pmatrix}-2 & 3\\3 & -4\end{pmatrix}\)
Ej. 2Matriz 2×2Nivel básico · singular
Estudia si tiene inversa: \[A=\begin{pmatrix}6 & 4\\3 & 2\end{pmatrix}\]

Paso 1 — Determinante

\[\det(A) = 6\cdot2 - 4\cdot3 = 12-12 = 0\]

Conclusión

El determinante es cero: la matriz es singular y no tiene inversa. La segunda fila es proporcional a la primera (\(F_2 = \tfrac{1}{2}F_1\)), lo que confirma que las filas son linealmente dependientes.
La matriz no tiene inversa (det = 0)
Recuerda: siempre hay que calcular el determinante antes de intentar invertir una matriz.
Ej. 3Matriz 3×3Nivel medio · triangular inferior
Calcula la inversa de la matriz triangular inferior: \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\3 & 2 & 1\end{pmatrix}\]

Paso 1 — Determinante

Para matrices triangulares, el determinante es el producto de la diagonal: \(\det(A)=1\cdot1\cdot1=1\neq0\).

Paso 2 — Matriz adjunta

\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix} +\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2&1\\3&2\end{vmatrix}\\[12pt] -\begin{vmatrix}0&0\\2&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\3&2\end{vmatrix}\\[12pt] +\begin{vmatrix}0&0\\1&0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\2&0\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -2 & 1\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Paso 3 — Trasponer la adjunta

\[\mathrm{Adj}(A)^t=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 0\\1 & -2 & 1\end{pmatrix}\]

Paso 4 — Dividir por el determinante

Como \(\det(A)=1\), la inversa coincide con la traspuesta de la adjunta.

\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 0\\1 & -2 & 1\end{pmatrix}\]

Comprobación

\[\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\;\checkmark\]
\(A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 0\\1 & -2 & 1\end{pmatrix}\)
Nota: la inversa de una matriz triangular inferior es también triangular inferior.
Ej. 4Matriz 3×3Nivel medio · simétrica
Calcula la inversa de la matriz simétrica: \[A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\1 & 1 & 2\end{pmatrix}\]

Paso 1 — Determinante

\[\det(A)=2(2\cdot2-1\cdot1)-1(1\cdot2-1\cdot1)+1(1\cdot1-2\cdot1)=2\cdot3-1\cdot1+1\cdot(-1)=6-1-1=4\neq0\]

Paso 2 — Matriz adjunta

\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix} +\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\\[12pt] -\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}\\[12pt] +\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -1 & -1\\-1 & 3 & -1\\-1 & -1 & 3\end{pmatrix}\]

Paso 3 — Trasponer la adjunta

La matriz de cofactores ya es simétrica, por lo que \(\mathrm{Adj}(A)^t = \mathrm{Adj}(A)\):

\[\mathrm{Adj}(A)^t=\begin{pmatrix}3 & -1 & -1\\-1 & 3 & -1\\-1 & -1 & 3\end{pmatrix}\]

Paso 4 — Dividir por el determinante

\[A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3 & -1 & -1\\-1 & 3 & -1\\-1 & -1 & 3\end{pmatrix}\]

Comprobación

\[\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\;\checkmark\]
\(A^{-1} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3 & -1 & -1\\-1 & 3 & -1\\-1 & -1 & 3\end{pmatrix}\)
Nota: la inversa de una matriz simétrica también es simétrica.

¿Quieres practicar con tu propia matriz? La calculadora de la inversa por adjunta te permite introducir cualquier matriz 2×2 o 3×3 y ver el desarrollo completo paso a paso.

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